2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 直线与平面垂直的性质 作业

同步练习 34 　直线与平面垂直的性质 必备知识基础练 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 45 分 ) 1 ． [2023· 广东华南师大附中高一期末 ] 在空间中，下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．垂直于同一直线的两条直线平行 B ．垂直于同一直线的两条直线垂直 C ．平行于同一平面的两条直线平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行 2 ．如图所示， α ∩ β ＝ l ，点 A ， C ∈ α ，点 B ∈ β ，且 BA ⊥ α ， BC ⊥ β ，那么直线 l 与直线 AC 的关系是 ( 　　 ) A ．异面 B ．平行 C ．垂直 D ．不确定 3 ．在长方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别为 C 1 D 1 ， AB 的中点， AB ＝ 4 ，则 MN 与平面 BCC 1 B 1 的距离为 ( 　　 ) A ． 4 B ． 2 C ． 2 D ． 4 ． [2023· 北京师大附中高一期末 ] 如图， PA ⊥ 平面 ABC ， △ ABC 中， BC ⊥ AC ，则 △ PBC 是 ( 　　 ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上都有可能 5 ．已知直线 l ∩ 平面 α ＝点 O ， A ∈ l ， B ∈ l ， A ∉ α ， B ∉ α ，且 OA ＝ AB . 若 AC ⊥ 平面 α ，垂足为 C ， BD ⊥ 平面 α ，垂足为 D ， AC ＝ 1 ，则 BD ＝ ( 　　 ) A ． 2 B ． 1 C ． D ． 6 ．一个三棱锥底面和侧面这四个面中 ( 　　 ) A ．可以都是直角三角形 B ．最多三个面是直角三角形 C ．最多两个面是直角三角形 D ．最多一个面是直角三角形 7 ．若 P 是 △ ABC 所在平面外一点，且 PA ⊥ BC ， PB ⊥ AC ，则点 P 在 △ ABC 所在平面内的射影 O 是 △ ABC 的 ( 　　 ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 8 ． ( 多选 ) 下列命题正确的是 ( 　　 ) A ． ⇒ b ⊥ α B ． ⇒ a ∥ b C ． ⇒ b ∥ α D ． ⇒ b ⊥ α 9 ． ( 多选 ) 如图， ABCD 是矩形，沿对角线 BD 将 △ ABD 折起到 △ A ′ BD ，且 A ′ 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上，则下列结构正确的是 ( 　　 ) A ． A ′ C ⊥ BD B ． A ′ D ⊥ BC C ． A ′ C ⊥ BC D ． A ′ D ⊥ A ′ B 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 10 ．如图所示，已知 AF ⊥ 平面 ABCD ， DE ⊥ 平面 ABCD ，且 AF ＝ DE ， AD ＝ 6 ，则 EF ＝ ________ ． 11 ．如图所示，在三棱锥 P ­ ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， D 是侧面 PBC 上的一点，过 D 作平面 ABC 的垂线 DE ，其中 D ∉ PC ，则 DE 与平面 PAC 的位置关系是 ________ ． 12 ．三棱锥的 三条侧棱两两 互相垂直，长分别为 a ， b ， c ，则这个三棱锥的体积是 ________ ． 三、解答题 ( 共 20 分 ) 13. (10 分 ) 如图，在直三棱柱 ABC ­ A 1 B 1 C 1 中， AB ⊥ AC ， D ， E 分别为 AA 1 ， B 1 C 的中点， DE ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ， 求证： AB ＝ AC . 14. (10 分 ) 如图，在正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 是 AB 上一点， N 是 A 1 C 的中点， MN ⊥ 平面 A 1 DC . 求证： (1) MN ∥ AD 1 ； (2) M 是 AB 的中点． 关键能力提升练 15.(5 分 ) 棱长为 1 的正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为 A 1 B 1 的中点，则 E 到平面 ABC 1 D 1 的距离为 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 16.(5 分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 1 ， BC ＝ 2 ， PA ⊥ 平面 ABCD ，且 PA ＝ 1 ，点 Q 在边 BC 上．若要使 PQ ⊥ QD ，则 BQ ＝ ________ ． 17. (10 分 ) 如图，在四面体 P ­ ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， PA ＝ AB ＝ 1 ， BC ＝ ， AC ＝ 2. (1) 证明： BC ⊥ 平面 PAB ； (2) 在线段 PC 上是否存在点 D ，使得 AC ⊥ BD ，若存在，求 PD 的值，若不存在，请说明理由． 同步练习 34 　直线与平面垂直的性质 必备知识基础练 1 ． 答案： D 解析：垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和 异面 ， A 、 B 不正确； 平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和 异面 ， C 不正确； 根据线面垂直的性质可知 D 正确．故选 D. 2 ．答案： C 解析： ∵ BA ⊥ α ， α ∩ β ＝ l ， l ⊂ α ， ∴ BA ⊥ l . 同理 BC ⊥ l . 又 BA ∩ BC ＝ B ， ∴ l ⊥ 平面 ABC . ∵ AC ⊂ 平面 ABC ， ∴ l ⊥ AC . 故选 C. 3 ．答案： C 解析： 如图，连接 BC 1 ，则 MN ∥ BC 1 . 又 BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ， MN ⊄ 平面 BCC 1 B 1 ， ∴ MN ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， ∴ MN 与平面 BCC 1 B 1 的距离为点 N 到平面 BCC 1 B 1 的距离． 又点 N 到平面 BCC 1 B 1 的距离为 NB ， 且 NB ＝ AB ＝ 2 ， ∴ MN 与平面 BCC 1 B 1 的距离为 2. 故选 C. 4 ．答案： A 解析：因为 PA ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ， 所以 PA ⊥ BC ，又 BC ⊥ AC ， PA ∩ AC ＝ A ， PA ， AC ⊂ 平面 PAC ， 所以 BC ⊥ 平面 PAC ，又 PC ⊂ 平面 PAC ， 所以 BC ⊥ PC ，故 △ PBC 是直角三角形，故选 A. 5 ．答案： A 解析： 因为 AC ⊥ 平面 α ， BD ⊥ 平面 α ，所以 AC ∥ BD . 连接 OD ， 所以 ＝ . 因为 OA ＝ AB ，所以 ＝ . 因为 AC ＝ 1 ，所以 BD ＝ 2. 故选 A. 6 ．答案： A 解析： 将三棱锥 D 1 DAB 放入正方体中，如图： 三棱锥 D 1 DAB 中， DD 1 ⊥ 底面 ABD ，故 DD