2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 等比数列的前n项和 (课件)

课标定位素养阐释1.掌握等比数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等比数列前n项和的性质.3.能够应用等比数列的前n项和公式解决问题.4.加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 自主预习 新知导学 一、等比数列前n项和公式【问题思考】1.在等比数列{an}中,已知首项a1=m,公比q=1,求前n项和Sn.提示:Sn=nm.2.若q≠1,试用a1和q表示Sn.提示:设数列a1,a2,a3,…,an,…,它的前n项和Sn=a1+a2+…+an.写成公比q与首项a1的形式为Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①两边同乘公比q,得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn, 3.等比数列的前n项和公式 4.在等比数列{an}中,已知a1=3,q=2,则S6= .答案:1895.当q≠1时,等比数列{an}的前n项和Sn是关于n的函数,该函数的解析式有什么特点? 二、等比数列前n项和的性质【问题思考】1.在等比数列{an}中,已知a1=1,q=2,试判断S2,S4-S2,S6-S4是否成等比数列?提示:成等比数列.2.等比数列前n项和的性质:设Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn, S2n-Sn , S3n-S2n ,…成等比数列(q≠-1). 3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30=　　　　　. 解析:∵S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,又S20-S10=20,∴S30-S20=40,∴S30=40+30=70.答案:70 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)已知等比数列{an}共2n项,其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比q=2.( × )(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1-1,则a=1.( × )(3)若数列{an}为等比数列,且an>0,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.( √ )(4)若Sn为等比数列的前n项和,则S3,S6,S9成等比数列.( × )(5)前n项和公式Sn= 对一切等比数列都成立.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一等比数列前n项和公式的基本运算【例1】 在等比数列{an}中,(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;(2)若a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5;(3)若q=2,S4=1,求S8.分析　利用等比数列的通项公式和前n项和公式,列出关于a1和q的方程(组)求解,注意整体思想的应用. 在等比数列{an}的前n项和公式中,共有a1,q,n,Sn四个量,已知其中三个量便可求出另外一个量,其中a1,q是最基本的元素.当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除以达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 【变式训练1】 (1)在等比数列1,2,4,…中,第5项到第10项的和是　　　　　. (1)解析:∵首项a1=1,公比q=2.