7.1.2 复数的几何意义
新课程标准解读核心素养1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系直观想象2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系直观想象3.通过向量的模表示复数的模数学运算
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.问题 （1）你能否为复数找一个几何模型？（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
知识点一 复数与复平面内点的关系1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.x轴 y轴 提醒 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）.
知识点二 复数与复平面内向量的关系如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z＝a＋bi 平面向量. 为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定， 相等 的向量表示同一个复数. 相等
知识点三 复数的模1.定义：向量的 模 叫做复数z＝a＋bi的 模 或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记作 ｜z｜或｜a＋bi｜ .3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）. 模 模 ｜z｜或｜a＋bi｜ 知识点四 共轭复数1.定义：当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 .2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ a－bi .提醒 （1）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（2）｜z｜＝｜｜. 相等 互为相反数 共轭虚数 a－bi
1.复数－1＋i在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数－1＋i在复平面内对应的点为（－1，1），故在第二象限.故选B.
2.已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量＝（－1，2），则点M对应的复数为（ ） A.1＋2iB.－1＋2iC.2－iD.2＋i解析：因为O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量＝（－1，2），则点M对应的复数为－1＋2i.故选B. 3.设z＝1－2i，则｜z｜＝ ，＝ . 解析：因为z＝1－2i，所以｜z｜＝＝，＝1＋2i. 答案： 1＋2i
02题型突破·析典例
题型一复数与复平面内点的关系【例1】 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：（1）在虚轴上；解 复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）.（1）由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.
（2）在第二、四象限；分别求实数m的取值范围.解 （2）由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.
1.（变设问）本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围.解：由题意，∴2＜m＜4. 2.（变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值.解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
通性通法利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.提醒 复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.
1.已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A.（1，－2）B.（1，2）C.（－2，1）D.（－1，－2）解析：z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D.
2.已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.1.2 复数的几何意义 课件
