知识梳理·自主探究知识探究问题:(1)我国已经建成的京沪高速铁路总长约为 1 318 km,设计速度目标值为380 km/h,若京沪高速铁路时速按300 km/h计算,火车行驶x h后,路程为y km,则y与x之间构成函数关系y=300x,其中y=300x称为y与x之间的函数关系式;(2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3)如表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表:污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01根据初中所学知识,请判断(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的?提示:解析法、图象法和列表法.
1.函数的表示方法函数的表示方法通常有 、 和 .(1)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法.(2)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.(3)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.思考1:是否所有的函数都有三种表示方法呢?提示:不是,有些函数无法写出其解析式.思考2:任何一个函数都可以用列表法表示吗?提示:若一个函数的定义域是连续的数集,则函数就不能用列表法表示.解析法列表法图象法
思考3:任何一个函数都可以用图象法表示吗?2.分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 . ,则称其为分段函数.思考4:分段函数有多段,那么它是多个函数吗?提示:分段函数是一个函数而不是多个函数.对应关系
拓展总结函数三种表示法的优缺点比较
师生互动·合作探究探究点一 列表法与图象法表示函数解析:(1)由表格可得,f(-2)=1,所以f(f(-2))=f(1)=2,所以f(-2)+f(f(-2))=3.故选D.[例1] (1)已知函数y=f(x),用列表法表示如表:x-2-1012y10-22-1则f(-2)+f(f(-2))等于( )A.-4 B.0 C.2 D.3
解析:(2)对于A选项,当-1<x<1时,一个x对应两个y,所以A选项中的图象不是函数的图象;B,C,D选项中的图象满足函数的定义,因此是函数的图象.故选A.(2)在下列选项中,不是函数的图象的是( )
方法总结(1)利用列表法研究函数,主要是通过表格中的自变量对应的函数值的特征求解.(2)判断一个平面直角坐标系下的图形能否确定为y是x的函数的一个方法是任作一条垂直于x轴的直线(x=a),若该直线与其图形至多有一个交点,则由该图形能确定y是x的函数(当a是定义域内的值时,只有一个交点,当a不是定义域内的值时没有交点).
针对训练:已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(2))的值为 ,f(g(2))的值为 . 解析:由图象可知,g(2)=1,由表格可知,f(2)=2,f(1)=3,则g(f(2))=g(2)=1,f(g(2))=f(1)=3.答案:1 3x123f(x)321
探究点二 解析法表示函数角度1 待定系数法求函数解析式[例2] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13.求函数f(x)的解析式.
方法总结待定系数法求函数解析式的方法已知f(x)的结构特征,求f(x).一般用“待定系数法”求解,设出f(x)的表达式,由已知条件列出关于f(x)中未知参数的方程组,解方程组求出未知数.一般地,一次函数设为f(x)=kx+b(k≠0),二次函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
针对训练:已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于( )A.3x+2 B.3x-2C.2x+3 D.2x-3
方法总结已知f(g(x))=h(x),求f(x)常用的方法有两种:(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意换元后新元的范围.(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.注意:f(g(x))=h(x),求f(x)时,若y=g(x)的取值不是全体实数,要在所求得的函数解析式中,标注函数的定义域,也就是函数y=g(x)的值域.
方法总结
针对训练:已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
探究点三 分段函数解:(1)因为-3<1,所以f(-3)=-(-3)+2=5,又5>3,所以f(f(-3))=f(5)=5-2=3,故f(f(f(-3)))=f(3)=-32+4×3-2=1.
解:(2)函数的图象如图所示.
解:(3)由函数y=f(x)的图象可得y≥1,所以函数y=f(x)的值域为{y|y≥1}.
变式探究:(1)本例中条件不变,若f(a)=4,求a的值;解:(1)①当a<1时,由-a+2=4,得a=-2.②当1≤a≤3时,由-a2+4a-2=4,得a2-4a+6=0,此方程无解.③当a>3时,由a-2=4,得a=6.综上所述,a的取值为-2或6.(2)本例改为研究若f(x)与直线y=a有四个不同的交点,求实数a的取值范围.解:(2)直线y=a与函数y=f(x)的图象有4个不同的交点,由图象知1<a<2,故所求a的取值范围是(1,2).
方法总结(1)求分段函数函数值的方法.①先确定要求值的自变量属于哪一段区间;②然后代入该段的解析式求值;③当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知函数值求自变量取值的步骤.①先对自变量的取值范围分类讨论;②然后代入到不同的解析式中;③通过解方程求出自变量的值;④检验所求的值是否在所讨论的区间内.(3)分段函数的图象:根据各段的函数解析式,在各段的定义域内作出相应的函数图象.
学海拾贝函数的图象及应用典例探究:作出下列各函数的图象.(1)y=-x+1,x∈Z;解:(1)函数定义域为Z,所以图象为一群孤立的点,如图(a).
典例探究:作出
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数的表示法(课件)
