4
．
4
*
数学归纳法
学习目标
1.
了解数学归纳法的原理．
(
难点、易混点
)
2.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
(
重点、难点
)
知识脉络
1
．
数学归纳法的定义
一般地
，
证明一个与正整数
n
有关的命题
，
可按下列步骤进行：
(1)
归纳奠基：证明当
n
＝
n
0
(
n
0
∈
N
*
)
时命题成立；
(2)
归纳递推：以
“
当
n
＝
k
(
k
∈
N
*
，
k
≥
n
0
)
时命题成立
”
为条件
，
推出
“
当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立
”
．
只要
完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
思考
数学归纳法的第一步
n
0
的初始值是否一定为
1?
提示
不一定．如证明
n
边形的内角和为
(
n
－
2)
·
180
°
，
第一个值
n
0
＝
3.
2
．
数学归纳法中的两个步骤之间的关系
记
P
(
n
)
是一个关于正整数
n
的命题．可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：
(1)
P
(
n
0
)
为真；
(2)
若
P
(
k
)
为真
，
则
P
(
k
＋
1)
也为真
，
结论：
P
(
n
)
为真．
(1)
第一步验证
(
或证明
)
了当
n
＝
n
0
时结论成立
，
即命题
P
(
n
0
)
为真；
(2)
第二步是证明一种递推关系
，
实际上是要证明一个新命题：
若
P
(
k
)
为真
，
则
P
(
k
＋
1)
也为真
．
只要将两步交替使用
，
就有
P
(
n
0
)
为真
，
P
(
n
0
＋
1)
真
，
…
P
(
k
)
真
，
P
(
k
＋
1)
真
…
.
从而完成证明．
判断正误
(
正确的打
“√”
，
错误
的打
“×”
)
(
1)
与正整数
n
有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．
(
)
(2)
数学归纳法的第一步
n
0
的初始值一定为
1.(
)
(3)
数学归纳法的两个步骤缺一不可．
(
)
(4)
设
S
k
＝
＋
＋
＋
…
＋
，
则
S
k
＋
1
＝
＋
＋
＋
…
＋
.
(
)
答案
(1)
×
(2)
×
(3)
√
(4)
×
1
．
数学归纳法的实质
数学归纳法是一种以数学归纳原理为根据的演绎推理
，
它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程．所以它是证明有关正整数问题的有力工具．
2
．
数学归纳法两个步骤的联系
第一步是验证命题递推的基础
，
第二步是论证命题递推的依据
，
这两个步骤缺一不可
，
只完成第一步而
缺少第二步就作出判断
，可能得出不正确的结论．
因为单靠第一步
，
无法递推下去
，
即
n
取
n
0
以后的数时命题是否正确
，
我们无法判定
，
同样只有第二步而缺少第一步时
，
也可能得出不正确的结论
，
缺少第一步这个基础
，
假设就失去了成立的前提
，
第二步也就没有意义了．
类型一
用数学归纳法
证明等式
逻辑推理
【例
1
】
(1)
用数学归纳法证明等式
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
(
n
＋
3)
＝
(
n
∈
N
*
)
时
，
第一步验证
n
＝
1
时
，
左边应取的项是
(
)
A
．
1 B
．
1
＋
2
C
．
1
＋
2
＋
3 D
．
1
＋
2
＋
3
＋
4
(2)
用数学归纳法证明：
＋
＋
…
＋
＝
(
n
∈
N
*
).
(1)
D
[
当
n
＝
1
时
，
左边应为
1
＋
2
＋
3
＋
4
，
故选
D.
]
(2)
证明
①
当
n
＝
1
时
，
＝
成立．
②
假设当
n
＝
k
(
k
∈
N
*
)
时等式成立
，
即有
＋
＋
…
＋
＝
，
则当
n
＝
k
＋
1
时
，
＋
＋
…
＋
＋
＝
＋
＝
，
即当
n
＝
k
＋
1
时等式也成立．
由
①②
可得对于任意的
n
∈
N
*
等式都成立．
【母题探究】
本例
(2)
中改为用数学归纳法证明：
＋
＋
＋
…
＋
＝
(
n
∈
N
*
).
证明
①
当
n
＝
1
时
，
左边＝
＝
，
右边＝
＝
，
左边＝右边
，
所以等式成立．
②
假设
n
＝
k
(
k
≥
1
，
k
∈
N
*
)
时等式成立
，
即
＋
＋
＋
…
＋
＝
，
则当
n
＝
k
＋
1
时
，
＋
＋
＋
…
＋
＋
＝
＋
＝
＝
＝
＝
.
所以当
n
＝
k
＋
1
时
，
等式也成立．
由
①②
可知
，
对于一切
n
∈
N
*
等式都成立．
类型二
用
数学归纳法证明不等式
逻辑推理
【例
2
】
证明：不等式
1
＋
＋
＋
…
＋
<2
(
n
∈
N
*
).
证明
①
当
n
＝
1
时
，
左边＝
1
，
右边＝
2
，
左边
<
右边
，
不等式成立．
②
假设当
n
＝
k
(
k
≥
1
且
k
∈
N
*
)
时
，
不等式成立
，
即
1
＋
＋
＋
…
＋
<2
.
则当
n
＝
k
＋
1
时
，
1
＋
＋
＋
…
＋
＋
<
2
＋
＝
<
＝
＝
2
.
∴
当
n
＝
k
＋
1
时
，
不等式成立．
由
①②
可知
，
原不等式对任意
n
∈
N
*
都成立．
试用数学归纳法证明
1
＋
＋
＋
…
＋
＜
2
－
(
n
≥
2
，
n
∈
N
*
).
证明
①
当
n
＝
2
时
，
1
＋
＝
<2
－
＝
，
命题成立．
②
假设
n
＝
k
(
k
≥
2
，
且
k
∈
N
*
)
时命题成立
，
即
1
＋
＋
＋
…
＋
<
2
－
.
则当
n
＝
k
＋
1
时
，
1
＋
＋
＋
…
＋
＋
<2
－
＋
<2
－
＋
＝
2
－
＋
－
＝
2
－
，
命题成立．
由
①②
知原不等式在
n
∈
N
*
，
n
≥
2
时均成立．
类型三
用数学归纳法证明几何问题
逻辑推理
【例
3
】
平面上有
n
个
圆，其中每两个圆都相交于两点，每三个圆不共点，求证：这
n
个圆把平面分成
f
(
n
)
＝
n
2
－
n
＋
2
个部分．
证明
①
当
n
＝
1
时
，
一个圆把平面分成两个部分
，
而
f
(1)
＝
1
－
1
＋
2
＝
2
，
因此
，
n
＝
1
命题成立．
②
假设
n
＝
k
(
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 4.4 数学归纳法 学案
