知识探究·素养培育探究点一[问题1] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:增函数与减函数时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.
(1)当时间间隔t逐渐增大,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?提示:(1)随着时间间隔t逐渐增大,函数值y逐渐变小,这个试验告诉我们,在学习中,我们应及时复习刚学习过的知识.(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
知识点1:增函数与减函数的定义设函数y=f(x)的定义域是D:如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)是 函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上 .如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数y=f(x)是 函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上 .增单调递增减单调递减
(2)当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的定义域为(-∞,1),[1,+∞).并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.[例1] 求下列函数的定义域,并指出该函数在其定义域(或其定义域上的不同区间)上单调递增还是单调递减.
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
变式训练1-1:讨论函数f(x)=-(x-3)|x|的单调性.
方法总结判断函数单调性的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调性要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象.
探究点二函数的单调性知识点2:函数的单调性如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的 .单调区间
[思考2] 已知函数f(x)与g(x)在公共区间上具有单调性,(1)若函数f(x)与g(x)均为增函数,那么F(x)=f(x)+g(x)的单调性如何?(2)若函数f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么F(x)=f(x)-g(x)的单调性如何?(3)若函数f(x)为减函数,g(x)为减函数,那么F(x)=f(x)+g(x)的单调性如何?(4)若函数f(x)为减函数,g(x)为增函数,那么F(x)=f(x)-g(x)的单调性如何?提示:(1)F(x)=f(x)+g(x)单调递增;(2)F(x)=f(x)-g(x)单调递增;(3)F(x)=f(x)+g(x)单调递减;(4)F(x)=f(x)-g(x)单调递减.
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
(2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性,并给予证明.
方法总结证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤(1)在区间D上任取两个自变量的值x1,x2,并规定 x1<x2;(2)计算f(x1)-f(x2),将f(x1)-f(x2)分解为若干个可以直接确定符号的式子;(3)确定f(x1)-f(x2)的符号.若f(x1)-f(x2)<0,则函数f(x)在区间D上单调递增;若f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在区间D上单调递减.
易错警示证明单调性的步骤中,作差f(x1)-f(x2)变形时,应注意若函数解析式是多项式,常将差式变形后提取公因式.若f(x)解析式含分式,需将分式通分后变形.若f(x)的解析式含根式,常将“差式”进行有理化变形.
探究点三单调性的应用[问题3] (1)若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b满足什么关系?如果函数f(x)是减函数呢?(2)决定二次函数f(x)=ax2+bx+c单调性的因素有哪些?提示:(1)若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b;若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.
答案:(1)C
(2)已知二次函数f(x)=x2-6ax+1.①若函数f(x)的一个单调区间是(-∞,6],则a的取值集合是 ; ②若函数f(x)在(-∞,6]上是减函数,则a的取值集合是 . 解析:(2)①因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],又由题意知f(x)的一个单调区间是(-∞,6],所以3a=6,所以a=2.所以满足条件的a的取值集合是{2}.②因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],又f(x)在(-∞,6]上是减函数,所以3a≥6,所以a≥2.所以a的取值集合是{a|a≥2}.答案:(2)①{2} ②{a|a≥2}
变式训练3-1:(1)(2020·吉林长春外国语高一上期中)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,-1] (B)[-1,3](C)[3,+∞) (D)[3,+∞)∪(-∞,-1]解析:(1)因为函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1的图象开口向上,对称轴方程为x=1-a,又因为f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,所以1-a≥2或1-a≤-2,解得a≥3或a≤-1.故选D.
方法总结函数单调性的应用(1)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.注意函数在某个区间I上单调与函数的单调区间是I的区别.前者是函数相应单调区间的子集,而后者就是函数的单调区间.(2)对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则左边函数
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数的单调性(课件)
