新课程标准素养风向标1.能应用组合知识解决有关组合的简单问题.2.能解决有限制条件的组合问题.1.学会运用组合知识解决实际的简单问题.(数学运算)2.掌握解决组合问题的常见方法.(数学运算)
核心互动探究探究点一 有限制条件的组合问题【典例1】(1)要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有 ( ) A.2种 B.3种 C.6种 D.8种(2)在一次马拉松赛中,某校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲乙不同时参加,丙丁也不同时参加,则不同的报名方案有 ( )A.69种 B.96种 C.76种 D.84种
【思维导引】(1)首先将3名学生分成两个组,然后将2组学生安排到2个村即可.(2)根据题意,分3种情况讨论:①甲、乙、丙、丁4人中,只从甲乙中选出1人,②甲、乙、丙、丁4人中,只从丙丁中选出1人,③甲、乙、丙、丁4人中,从甲乙,丙丁中各选1人,由分类加法计数原理计算可得答案.
【解析】(1)选C.第一步,将3名学生分成两个组,有=3种分法;第二步,将2组学生安排到2个村,有=2种安排方法,所以,不同的安排方法共有3×2=6种.(2)选D.根据题意,分3种情况讨论:①甲、乙、丙、丁4人中,只从甲乙中选出1人,需要在其他6人中选出2人,有=30种报名方案;②甲、乙、丙、丁4人中,只从丙丁中选出1人,需要在其他6人中选出2人,有=30种报名方案;③甲、乙、丙、丁4人中,从甲乙、丙丁中各选1人,需要在其他6人中选出1人,有=24种报名方案.故有30+30+24=84种报名方案.
【类题通法】组合应用题的求解策略(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩余元素中去取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的问题:首先要理解“至少”与“至多”的含义,防止重复与漏解;其次选取某条件为主线进行分类求解,当用直接法分类较多时,可用间接法处理.
【定向训练】1.为了丰富教职工的文化生活,某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团,现要从这16人中选出3人领唱,要求这3人不能都是同一个部门的,且在行政部门至少选1人,则不同的选取方法的种数为( )A.336 B.340 C.352 D.472【解析】选A.由题意可得,①行政部门选一人,若其他两人为同一部门有=72种,若其他人不为同一部门有=192种;②行政部门选二人,有=72种.综上共有72+192+72=336种.
2.现有甲班A,B,C,D四名学生,乙班E,F,G三名学生,从这7名学生中选4名学生参加某项活动,则甲、乙两班每班至少有1人,且A必须参加的方法有 ( )A.10种 B.15种 C.18种 D.19种【解析】选D.由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下:若甲班1人,乙班3人,共1种方法;若甲班2人,乙班2人,共=9种方法;若甲班3人,乙班1人,共=9种方法.故甲、乙两班每班至少有1人,且A必须参加的方法有1+9+9=19种.
3.某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有( )A.56种 B.49种 C.42种 D.14种【解析】选B. ①男生甲、乙有一人参加,女生丙参加,从另外7人中任选2人,共有=42种.②男生甲、乙都参加,女生丙也参加,从另外7人中任选1人,有=7种.综合①②得不同的选人方式有42+7=49种.
探究点二 分组、分配问题命题角度1 相同元素的分配问题【典例2】6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空;(2)恰有一个空盒子;(3)恰有两个空盒子.【思维导引】(1)等价转化成:6个球排成一行,球之间共5个空,插3个隔板,隔成4份.(2)隔板法先在首尾两球外,各放一隔板,并在5个空隙中任选2个各插一隔板,然后将剩下的一隔板与前面任一块并放形成空盒.(3)隔板法先在首尾两球外各放一隔板,并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
【解析】(1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧各放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有=10(种)方法.(2)恰有一个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有种插法;然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒,如|0|000||00|,有种插法,故共有·=40(种)方法.(3)恰有两个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有种插法,如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子,如||00||0000|,有种插法.②将两块板与前面三块板之一并放,如|00|||0000|,有种插法.故共有·(+)=30(种)方法.
【类题通法】相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第三册 组合的应用 课件
