第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求考情分析1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.3.在平面解析几何的初步学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想1.本讲考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.2.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现
判断方法相交相切相离几何法d<rd＝rd>r代数法Δ>0Δ＝0Δ<01.直线与圆的位置关系
内容内含内切相交外切外离几何法(r<R)d<R－rd＝R－r R－r<d<R＋rd＝R＋rd>R＋r公切线条数012342.两圆的位置关系
【名师点睛】(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)圆系方程①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数.②过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R).③过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解).
考点一 直线与圆的位置关系[例 1] (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋)by＝1 与圆 O 的位置关系是( A.相切 C.相离 B.相交D.不确定
答案：B
(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数 m 的取值范围为()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞).答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用 d 与 r 的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【变式训练】1.“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：A
2.直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定，与 m 的取值有关
答案：A
考点二 圆的切线、弦长问题考向 1 圆的弦长问题[例 2](2022 年天津)若直线 x－y＋m＝0(m＞0)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝3 相交所得的弦长为 m，则 m＝______.
答案：2
考向 2 圆的切线问题
图 7-4-1答案：ACD
考向 3 与弦长有关的最值和范围问题[例 4]过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，则最短弦所在的直线方程为________.解析：设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC|＝ ，半径 r＝2，由题意知最短弦过 P(3，1)且与 PC 垂直，kPC＝－1，所以所求直线方程为 y－1＝x－3，即 x－y－2＝0.答案：x－y－2＝0
【题后反思】 (1)弦长的两种求法 ①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. ②几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l＝
(2)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【考法全练】 1.(考向 1)(一题两空)(2022 年温州市模拟)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝25 与直线 l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆 C 关于直线 l 对称，则m＝________；当 m＝________时，圆 C 被直线 l 截得的弦长最短.
解析：∵圆 C： (x－1)2＋y2＝25关于直线l：mx＋y＋m＋2＝0对称，则圆心(1，0)在直线 l：mx＋y＋m＋2＝0 上，故有 m＋0＋m＋2＝0，求得 m＝－1.由于直线l：mx＋y＋m＋2＝0，即m(x＋1)＋y＋2＝0，经过定点 M(－1，－2)，故当 CM 和直线 l 垂直时，圆C被直线l截得的弦长最短，此时，－m·kCM＝－1，即－m·＝－1，求得 m＝1.答案：－1 1
2.(考向 2)过点 P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5 相切，且与直线 x－ay＋1＝0 平行，则 a＝________. 解析：因为点 P 在圆(x－1)2＋y2＝5 上，所以过点 P(2，2)与圆(x－1)2＋y2＝5 相切的切线方程为(2－1)(x－1)＋2y＝5，即 x＋2y－6＝0，由直线 x＋2y－6＝0 与直线 x－ay＋1＝0 平行，得－a＝2，a＝－2.答案：－2
3.(考向 3)从直线 l：x＋y＝1 上一点 P 向圆 C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0 引切线，则切线长的最小值为________.
考点三 圆与圆的位置关系[例 5]已知两圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m 取何值时两圆外切
2024届一轮复习人教A版 第七章平面解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系 (课件)
