2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.6.1 直线与直线垂直 学案

8 . 6.1 　直线与直线垂直 课程标准 1. 理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角． 2 ．会证明直线与直线垂直． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　异面直线所成的角 1 ．定义：已知两条异面直线 a ， b ，经过空间任一点 O 分别作直线 a ′∥ a ， b ′∥ b ，我们把直线 ________ 所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ) ❶ . 2 ． 异面直线所成角的范围为 ________ ． 要点二　空间两直线垂直 ❷ 如果两条异面直线所成的角是 ________ ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线 a 与直线 b 互相垂直，记作 ________ ． 助 学 批 注 批注 ❶ 　研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转 化为相交直线． 这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题． 批注 ❷ 　两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直． 夯 实 双 基 　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． ( 　　 ) (2) 异面直线所成角的大小与点 O 的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点． ( 　　 ) (3) 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直． ( 　　 ) (4) 不在某个平面内的两条直线为异面直线． ( 　　 ) 2 ．若空间三条直线 a ， b ， c 满足 a ⊥ b ， b ∥ c ，则直线 a 与 c ( 　　 ) A. 一定平行 B ．一定垂直 C ．一定是异面直线 D ．一定相交 3 ．已知空间中的三条直线 a ， b ， c 满足 a ⊥ c 且 b ⊥ c ，则直线 a 与直线 b 的位置关系是 ( 　　 ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行或相交或异面 4 ．已知正方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ 中： (1) BC ′ 与 CD ′ 所成的角为 ________ ； (2) AD 与 BC ′ 所成的角为 ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　求异面直线所成的角 例 1 　如图，在正方体 ABCD ­ EFGH 中， O 为侧面 ADHE 的中心，求： (1) BE 与 CG 所成的角； (2) FO 与 BD 所成 的角． 题后师说 求两异面直线所成的角的三个步骤 巩固训练 1 　 [2022· 福建宁德高一期末 ] 已知四棱锥 P ­ ABCD 的所有棱长均相等，点 E ， F 分别为线段 PC ， PD 的中点，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 ( 　　 ) A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90° 题型 2 　直线与直线垂直 例 2 　如图，在正三棱柱 ABC ­ A ′ B ′ C ′ 中， E 为棱 AC 的中点， AB ＝ BB ′ ＝ 2. 求证： BE ⊥ AC ′. 题后师说 证明两条异面直线垂直的步骤 巩固训练 2 　 如图，正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 ，求证： AC ⊥ B 1 D . 8 ． 6.1 　直线与直线垂直 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点一 1 ． a ′ 与 b ′ 　 2 ． (0° ， 90°] 要点二 　直角　 a ⊥ b [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)× 　 (2)√ 　 (3)√ 　 (4)× 2 ． 解析： ∵ a ⊥ b ， b ∥ c ， ∴ a ⊥ c . 故选 B. 答案： B 3 ． 解析： 如图，在正方体 AC 1 中， AB ⊥ AD ， AB ⊥ A 1 D 1 ， AD ∥ A 1 D 1 ， AB ⊥ AD ， AB ⊥ AA 1 ， AD ＝ A ， AB ⊥ AD ， AB ⊥ CC 1 ， AD 与 CC 1 异面，所以，垂直于同一直线的两条直线可平行，可相交，也可异面．故选 D. 答案： D 4 ． 解析： (1) 连接 BA ′ ，则 BA ′∥ CD ′ ，连接 A ′ C ′ ， 则 ∠ A ′ BC ′ 就是 BC ′ 与 CD ′ 所成的角．由 △ A ′ BC ′ 为正三角形． ∴∠ A ′ BC ′ ＝ 60°. (2) 由 AD ∥ BC ， ∴ AD 与 BC ′ 所成的角就是 ∠ C ′ BC . 易知 ∠ C ′ BC ＝ 45°. 答案： (1)60° 　 (2)45° 题型探究 · 课堂解透 例 1 　 解析： (1)∵ CG ∥ FB ， ∴∠ EBF 是异面直线 BE 与 CG 所成的角． 在 Rt△ EFB 中， EF ＝ FB ， ∴∠ EBF ＝ 45° ， ∴ BE 与 CG 所成的角为 45°. (2) 连接 FH ， ∵ FB ∥ AE ， FB ＝ AE ， AE ∥ HD ， AE ＝ HD ， ∴ FB ＝ HD ， FB ∥ HD ， ∴ 四边形 FBDH 是平行四边形， ∴ BD ∥ FH ， ∴∠ HFO 或其补角是 FO 与 BD 所成的角，连接 HA ， AF ， 则 △ AFH 是等边三角形， 又 O 是 AH 的中点， ∴∠ HFO ＝ 30° ， ∴ FO 与 BD 所成的角为 30°. 巩固训练 1 　解析： 因为点 E ， F 分别为线段 PC ， PD 的中点，故 EF ∥ DC ，又四棱锥 P ­ ABCD 的所有棱长均相等 ，故 ABCD 为菱形，故 DC ∥ AB ，故 EF ∥ AB ，所以异面直线 EF 与 PB 所成角为 ∠ PBA 或其补角，又四棱锥 P ­ ABCD 的所有棱长均相等，故 △ PBA 为正三角形，故 ∠ PBA ＝ 60° ，故选 C. 答案： C 例 2 　证明： 取 CC ′ 的中点 F ，连 EF ， BF ， ∵ E 为 AC 的中点， F 为 CC ′ 的中点， ∴ EF ∥ AC ′ ， ∴ BE 和 EF 所成角为 ∠ BEF . 即为异面直线 BE 与 AC ′ 所成角，且 EF ＝ AC ′. 在正三棱柱 ABC ­ A ′ B ′ C ′ 中， AC ′ ＝ 2 ， ∴ EF ＝ . 在等边 △ ABC 中， BE ＝ ＝ ， 在 Rt△ BCF 中， BF ＝ ＝ . 在 △ BEF 中 BE 2 ＋ EF 2 ＝ BF 2 ， ∴ BE ⊥ EF ，即 BE ⊥ AC ′. 巩固训练 2 　证明：