2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 6.2.1-6.2.2　排列 排列数 学案

6.2 　排列与组合 6.2.1 - 6.2.2 　排列排列数 　 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 1 ．通过实例，理解排列、排列数的概念． 2 ．能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式进行相关计算． 3 ．能运用排列知识解决一些有关排列的简单实际问题 . 重点： 排列的概念和排列数公式． 难点： 排列的应用，对排列要完成的 “ 一件事 ” 的理解，对 “ 一定顺序 ” 的理解． 核心素养： 逻辑推理、数学运算、数学建模 . 必备知识 · 探新知 　 知识点 1 　排列的概念 (1) 一般地，从 n 个不同对象中，任取 m ( m ≤ n ) 个对象，按照 _ 一定的顺序 __ 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2) 特别地， _ m ＝ n __ 时的排列 ( 即 _ 取出所有元素 __ 的排列 ) 称为全排列． 思考 1 ： 两个排列相同的条件是什么？ 提示： 两个排列相同则应具备排列的元素及排列的顺序均相同． 　 知识点 2 　排列数及排列数公式 排列数的定义 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 _ 所有排列 __ 的个数，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 排列数的表示 _ A __( m ， n ∈ N * ， m ≤ n ) 排列数公式 乘积式 A ＝ _ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) __ 阶乘式 A ＝ 阶乘 A ＝ _ n ·( n － 1)·( n － 2)· … ·2·1 __ ＝ _ n ！ __ 规定 0 ！＝ _ 1 __ ， A ＝ _ 1 __ 性质 A ＋ m A ＝ _ A __ 思考 2 ： 排列与排列数的区别是什么？ 提示： “ 排列 ” 与 “ 排列数 ” 是两个不同的概念， “ 排列 ” 是指 “ 按照一定的顺序排成一列 ” ，它不是一个数，而是具体的一件事， “ 排列数 ” 是指 “ 从 n 个不同元素中取出 m ( m ， n 都是正整数， m ≤ n ) 个元素的所有不同排列的个数 ” ，它是一个数．如从 a ， b ， c 中任取两个元素的排列有以下 6 种形式： ab ， ac ， ba ， bc ， ca ， cb ，这里每一种形式都是一个排列，而排列数则是 6. 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一　排列的概念 典例 1 　下列问题是排列问题吗？说明你的理由． (1) 从 1 ， 2 ， 3 三个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2) 从 1 ， 2 ， 3 ， 5 四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3) 会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排 3 个客人，又有多少种方法？ (4) 选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (5) 某班 40 名学生在假期相互通信． [ 分析 ] 　 判断是不是排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． [ 解析 ] 　 (1) 不是； (2) 是； (3) 第一问不是，第二问是； (4) 是； (5) 是． 理由是： (1)(2) 中由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题． (3) 中选座位与顺序无关， “ 入座 ” 问题，与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题． (4) 中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (5) A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． [ 规律方法 ] 　 1. 解决本题的关键有两点：一是 “ 取出元素不重复 ” ，二是 “ 与顺序有关 ”． 2 ．判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的 “ 位置 ” ( 这里的 “ 位置 ” 应视具体问题的性质和条件来决定 ) ，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． 【对点训练】 ❶ 判断下列问题是不是排列问题． (1) 从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2) 从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3) 某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ [ 解析 ] 　 (1) 由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到问题． (2) 因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3) 因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上， (1)(3) 是排列问题， (2) 不是排列问题． 题型二　排列数的计算公式 典例 2 　 (1) 计算 A 和 A ； (2)18 × 17 × 16 ×…× 12 × 11 等于 ( 　 A 　 ) A ． A B ． A C ． A D ． A (3) 设 x ∈ N * ，且 x >15 ，则 ( x － 2)( x － 3)( x － 4) … ( x － 15) 可化简为 ( 　 B 　 ) A ． A B ． A C ． A D ． A [ 分析 ] 　 (1) 直接用排列数公式计算； (2)(3) 用排列数公式的定义解答即可． [ 解析 ] 　 (1)A ＝ 15 × 14 × 13 ＝ 2 730 ， A ＝ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 720. (2)18 × 17 × 16 ×…× 12 ×