课标要求1.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法.2.理解导数的几何意义.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 导数的概念1.设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 = . 平均变化率的极限 2.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的 .在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的 ,通常用符号f'(x0)表示,记作f'(x0)= = . 瞬时变化率 导数
名师点睛对于导数的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )(2)函数在点x0处的导数f'(x0)是一个常数.( )2.利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值.√ √
知识点2 导数的几何意义1.割线:设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,如图(1),它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的 . 一条割线
2.切线:如图(2),设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
名师点睛1.直线倾斜角 与其斜率k之间的关系是k=tan θ.2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.( )(2)直线与曲线相切,则直线与已知的曲线只有一个公共点.( )√ ×
2.函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是( ) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)C
解析 如图所示,根据导数的几何意义,可得f'(2)表示切线l1的斜率k1>0,f'(3)表示切线l3的斜率k3>0,又由平均变化率的定义,可得 =f(3)-f(2),表示割线l2的斜率k2,结合图象,可得0<k3<k2<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选C.
3.若函数f(x)在x=3处的导数f'(3)= ,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线的倾斜角θ= . 60°
重难探究·能力素养全提升
探究点一 导数的概念角度1.求函数在某点处的导数【例1】 求函数y=f(x)=x+ 在x=1处的导数.
规律方法 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
变式训练1y=f(x)=x2在x=1处的导数为( )A.2x B.2 C.2+Δx D.1B解析 当x从1变到1+Δx时,函数值从1变到(1+Δx)2,函数值y关于x的平均变化率为当x趋于1,即Δx趋于0时,平均变化率趋于2,所以f'(1)=2.
角度2.对导数定义式的理解和应用【例2】 设函数f(x)在x0处可导,则 等于( )A.f'(x0) B.f'(-x0)C.-f'(x0) D.-f'(-x0)C
规律方法 导数定义式的变形应用在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有这样,才有
变式训练2[2023河南南阳中学高三阶段练习]设函数f(x)满足A.-1 B.1 C.-2 D.2A
探究点二 导数几何意义的应用角度1.曲线在某点处的切线方程【例3】 求曲线y=f(x)= 在点M(3, )处的切线方程.
规律方法 求曲线在某点处的切线方程的步骤
变式训练3曲线y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是 . -3 令Δx趋于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2处的导数为f'(2)=4.于是,函数y=f(x)=x2+1在点(2,5)处的切线斜率为4,因此函数y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.所以切线与y轴交点的纵坐标是-3.
角度2.曲线过某点的切线方程【例4】 求抛物线y=f(x)= x2过点(4, )的切线方程.
规律方法 1.首先要理解过某点的含义,切线过某点,这点不一定是切点.2.过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0,f(x0)).(3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),从而写出切线方程.3.本例考查了切线的含义及切线方程的求法.体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册导数的概念.导数的几何意义 课件
