2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.4.1　对数函数的概念 学案

4.4 　对数函数 4.4.1 　对数函数的概念 学习目标 　 1 . 理解对数函数的概念 . 2 . 了解反函数的概念及互为反函数的两个函数图象之间的关系 . 教材知识梳理 一 对数函数的概念 一般地 , 把函数 y =log a x ( a >0, 且 a ≠1) 叫做对数函数 , 其中 x 是自变量 , 函数的定义域是 (0,+∞) . 二 反函数 一般地 , 指数函数 y = a x ( a >0, 且 a ≠1) 与对数函数 y =log a x ( a >0, 且 a ≠1) 互为反函数 , 它们的定义域与值域正好 互换 . 函数 y = a x ( a >0 且 a ≠1) 与 y =log a x ( a >0 且 a ≠1) 的图象关于 直线 y = x 对称 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 对数函数的定义域为 R . ( 　 × 　 ) (2) y =log 2 x 2 与 y =log x 3 都不是对数函数 . ( 　 √ 　 ) (3) 函数 y =lg x 与 y =e x 的图象关于直线 y = x 对称 . ( 　 × 　 ) (4) 每个函数都有反函数 . ( 　 × 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P130 例 1) 求下列函数的定义域 . (1) y =log a (3- x )+log a (3+ x )( a >0 且 a ≠1); (2) y =log 2 (16-4 x ) . 【详解】 (1) 由 得 -3< x <3, 所以函数的定义域是 (-3,3) . (2) 由 16-4 x >0, 得 4 x <16=4 2 , 由指数函数的单调性得 x <2, 所以函数 y =log 2 (16-4 x ) 的定义域为 (-∞,2) . 【归纳总结】 求对数型函数的定义域时应注意真数大于 0, 底数大于 0 且不为 1 . 【例 2 】 ( 源于 P131 例 2) 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 , 游回产地产卵 . 记鲑鱼的游速为 V (m/s), 鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q , 研究中发现 V 与 log 3 成正比 , 且当 Q =900 时 , V =1 . (1) 求出 V 关于 Q 的函数解析式 ; (2) 计算一条鲑鱼的游速是 1 . 5 m/s 时耗氧量的单位数 . 【详解】 (1) 设 V = k ·log 3 , 因为当 Q =900 时 , V =1, 所以 1= k ·log 3 , 所以 k = , 所以 V 关于 Q 的函数解析式为 V = ; (2) 令 V =1 . 5, 则 1 . 5= log 3 ⇒ log 3 =3 ⇒ =3 3 =27, 所以 Q =2 700, 即一条鲑鱼的游速是 1 . 5 m/s 时耗氧量为 2 700 个单位 . 教材拓展延伸 【例 3 】指出下列函数中哪些是对数函数 . (1) y =log a x 2 ( a >0 且 a ≠1); (2) y =log 2 x -1; (3) y =2log 7 x ; (4) y =log x a ( x >0 且 x ≠1); (5) y =log 5 x. 【详解】只有 (5) 为对数函数 . (1) 中真数不是自变量 x , 所以不是对数函数 ; (2) 中对数式后减 1, 所以不是对数函数 ; (3) 中 log 7 x 前的系数是 2, 而不是 1, 所以不是对数函数 ; (4) 中底数是自变量 x , 而非常数 a , 所以不是对数函数 . 【归纳总结】 判断一个函数是对数函数必须是形如 y =log a x ( a >0 且 a ≠1) 的形式 , 即必须满足以下条件 : (1) 系数为 1 . (2) 底数为大于 0 且不等于 1 的常数 . (3) 对数的真数仅有自变量 x. 【例 4 】已知集合 M ={-1,1,2,4}, N ={0,1,2}, 则下列关系中能构成从 M 到 N 的函数的是 ( 　　 ) A .y = x 2 B .y = x +1 C .y =2 x D .y =log 2 | x | 【答案】 D 【详解】当 x =2 ∈ M 时 , y =2 2 =4 ∉ N , 所以 y = x 2 不能构成从 M 到 N 的函数 ; 当 x =2 ∈ M 时 , y =2+1=3 ∉ N , 所以 y = x +1 不能构成从 M 到 N 的函数 ; 当 x =2 ∈ M 时 , y =2 2 =4 ∉ N , 所以 y =2 x 不能构成从 M 到 N 的函数 ; 当 x =-1,1,2,4 时 , y =log 2 | x |=0,1,2, 所以 y =log 2 | x | 能构成从 M 到 N 的函数 . 【例 5 】函数 f ( x )= x 2 -2 ax -3 在区间 上存在反函数的充要条件是 ( 　　 ) A .a ∈ (-∞,1] B .a ∈ [2,+∞) C .a ∈ [1,2] D .a ∈ (-∞,1] ∪ [2,+∞) 【答案】 D 【详解】因为 f ( x )= x 2 -2 ax -3 的对称轴为 x = a , 所以 y = f ( x ) 在 [1,2] 上存在反函数的充要条件为 :[1,2] ⊆ (-∞, a ] 或 [1,2] ⊆ [ a ,+∞), 即 a ≥2 或 a ≤1 . 【例 6 】 (1) 已知对数函数 f ( x ) 的图象过点 (8,-3), 则 f (2 )= 　　　　　　 .  (2) 已知函数 f ( x ) 的图象与函数 y =3 x 的图象关于直线 y = x 对称 , 则 f (9)= 　　　　　 .  【答案】 (1)- 　 (2)2 【详解】 (1) 设 f ( x )=log a x ( a >0, a ≠1), 因为函数 f ( x ) 的图象过点 (8,-3), 则 -3=log a 8, 所以 a = , 所以 f ( x )=log x , f (2 )=log 2 =-log 2 2 =- . (2) 因为函数 f ( x ) 的图象与函数 y =3 x 的图象关于直线 y = x 对称 , 所以 f ( x ) 与 y =3 x 互为反函数 , 所以 f ( x )=log 3 x. 所以 f (9)=log 3 9=2 .