6.3.5
平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读
核心素养
1.
能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角
数学运算
2.
能用坐标表示平面向量垂直的条件
逻辑推理
通过前面的学习，我们知道，已知
a
＝
（
x
1
，
y
1
），
b
＝
（
x
2
，
y
2
），我们可以求出
a
＋
b
，
a
－
b
以及
λ
a
（
λ
≠
0
）的坐标
.
问题
那么如何用
a
与
b
的坐标来表示
a
·
b
呢？
知识点
平面向量数量积的坐标表示
若
a
＝
（
x
1
，
y
1
），
b
＝
（
x
2
，
y
2
），
a
与
b
的夹角为
θ
.
则
（
1
）
a
·
b
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积的和
；
（
2
）
｜
a
｜
2
＝
＋
，或
｜
a
｜＝
；
（
3
）
a
⊥
b
⇔
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
0
（
a
，
b
是非零向量）
；
（
4
）若
a
，
b
都是非零向量，则
cos
θ
＝
＝
.
向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
提示
：
向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示
记忆口诀
垂直
a
⊥
b
⇔
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
0
对应相乘和为
0
平行
a
∥
b
⇔
x
1
y
2
－
x
2
y
1
＝
0
交叉相乘差为
0
1.
若
a
＝
（
2
，－
3
），
b
＝
（
x
，
2
x
），且
3
a
·
b
＝
4
，则
x
＝
（
）
A.3
B.
C.
－
D.
－
3
解析：
C
由
3
a
·
b
＝
4
，得（
6
，
－
9
）
·
（
x
，
2
x
）
＝
－
12
x
＝
4
，
∴
x
＝
－
.
2.
已知
a
＝
（
3
，
4
），
b
＝
（
5
，
12
），则
a
与
b
夹角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
A
｜
a
｜＝
＝
5
，
｜
b
｜＝
＝
13.
a
·
b
＝
3
×
5
＋
4
×
12
＝
63.
设
a
与
b
的夹角为
θ
，所以
cos
θ
＝
＝
.
3.
已知向量
a
＝
（
1
，
n
），
b
＝
（－
1
，
n
），若
2
a
－
b
与
b
垂直，则
｜
a
｜＝
（
）
A.1
B.
C.2
D.4
解析：
C
∵
（
2
a
－
b
）
·
b
＝2
a
·
b
－
｜
b
｜
2
＝2
（
－
1＋
n
2
）
－
（
1＋
n
2
）
＝
n
2
－
3＝0
，
∴
n
2
＝3
，
∴
｜
a
｜＝
＝
2.
4.
已知点
A
（
0
，
1
），
B
（
1
，－
2
）
.
向量
＝
（
4
，－
1
），则
·
＝
，
｜
｜＝
.
解析：
＝
（
1
，
－
3
），
∴
·
＝1
×
4＋
（
－
3
）
×
（
－
1
）
＝7
，
＝
－
＝
（
4
，
－
1
）
－
（
1
，
－
3
）
＝
（
3
，
2
），
∴
｜
｜＝
＝
.
答案：
7
题型一
平面向量数量积的运算
【例
1
】
（
1
）已知
a
＝
（
2
，－
1
），
b
＝
（
1
，－
1
），则（
a
＋
2
b
）
·
（
a
－
3
b
）
＝
（
）
A.10
B.
－
10
C.3
D.
－
3
（
2
）已知
a
＝
（
1
，
1
），
b
＝
（
2
，
5
），
c
＝
（
3
，
x
），若（
8
a
－
b
）
·
c
＝
30
，则
x
＝
（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
解析
（
1
）
a
＋
2
b
＝
（
4
，
－
3
），
a
－
3
b
＝
（
－
1
，
2
），所以（
a
＋
2
b
）
·
（
a
－
3
b
）
＝
4
×
（
－
1
）
＋
（
－
3
）
×
2
＝
－
10.
（
2
）由题意可得，
8
a
－
b
＝
（
6
，
3
），又（
8
a
－
b
）
·
c
＝
30
，
c
＝
（
3
，
x
），所以
18
＋
3
x
＝
30
，解得
x
＝
4.
答案
（
1
）
B
（
2
）
C
通性通法
数量积坐标运算的方法
进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算
.
提醒
如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积
.
已知正方形
ABCD
的边长为
2
，
E
为
CD
的中点，点
F
在
AD
上，
＝2
，则
·
＝
.
解析：
建立平面直角坐标系如图所示，则
A
（
0
，
2
），
E
（
2
，
1
），
D
（
2
，
2
），
B
（
0
，
0
），
C
（
2
，
0
），因为
＝2
，所以
F
（
，
2）.
所以
＝
（
2
，
1
），
＝（
，
2）
－
（
2
，
0
）
＝（
－
，
2）
，所以
·
＝
（
2
，
1
）
·
（
－
，
2
）＝
2
×
（
－
）＋
1
×
2
＝
.
答案：
题型二
平面向量的模
【例
2
】
（
1
）已知
A
，
B
，
C
是坐标平面上的三点，其坐标分别为
A
（
1
，
2
），
B
（
4
，
1
），
C
（
0
，－
1
），则
△
ABC
的形状为（
）
A.
直角三角形
B.
等腰三角形
C.
等腰直角三角形
D.
以上均不正确
（
2
）已知向量
a
＝
（
x
，
y
），
b
＝
（－
1
，
2
），且
a
＋
b
＝
（
1
，
3
），则
｜
a
－
2
b
｜＝
.
解析
（
1
）
｜
｜＝
＝
，
｜
｜＝
＝
.
又
｜
｜＝
＝
，
∴
｜
｜＝｜
｜
，且
｜
｜
2
＋｜
｜
2
＝｜
｜
2
，因此
△
ABC
为等腰直角三角形
.
（
2
）
∵
a
＋
b
＝
（
x
－
1
，
y
＋
2
）
＝
（
1
，
3
），则
x
＝
2
，且
y
＝
1.
∴
a
＝
（
2
，
1
），则
a
－
2
b
＝
（
4
，
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（学案）
