第一章 三角函数§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
课时3 诱导公式与对称
学习目标 1.理解 <m></m> , <m></m> 与角 <m></m> 的终边的关系，会推导诱导公式.（逻辑推理） 2.掌握诱导公式，并且概括得到诱导公式的特点.（数学抽象） 3.能根据诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及证明.（数学运算）
自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价
流连于河的细长、山的颜色，观山赏水，看山在水中的倒影，山的巍峨、水的柔美在那刻融合.观察一下水中山的倒影与山有什么关系,你一定会说：对称！我们可以把河道近似地看成一条直线，当作 <m></m> 轴，建立平面直角坐标系，山上一条直线小溪当作角 <m></m> 的终边,且 <m></m> .
1.角 <m></m> 的终边关于 <m></m> 轴对称的角 <m></m> 是多少？ [答案] <m></m> , <m></m> . 2. <m></m> 与 <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 是什么关系？ [答案] 取角 <m></m> 终边上一点 <m></m> ，则 <m></m> 终边上对应的对称点为 <m></m> ，故 <m></m> ， <m></m> .
3.求 <m></m> 的值. [答案] <m></m> <m></m> .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）点 <m></m> 关于 <m></m> 轴的对称点是 <m></m> .( ) ×（2）诱导公式中的符号是由角 <m></m> 的象限决定的.( ) ×2.若 <m></m> ，则 <m></m> ____． <m></m> [解析] <m></m> ， <m></m> ． 3. <m></m> _ ____． <m></m> [解析] <m></m> .
4.已知 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> __． <m></m> [解析] <m></m> ， <m></m> ，又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ． <m></m> ．
探究1 给角求值 如图，在直角坐标系内，设任意角 <m></m> 的终边与单位圆交于点 <m></m> .根据三角函数的定义， <m></m> , <m></m> .
问题1：如图1，作点 <m></m> 关于原点的对称点 <m></m> ，以 <m></m> 为终边的角 <m></m> 与角 <m></m> 有什么关系？角 <m></m> 与角 <m></m> 的三角函数值之间有什么关系？ [答案] <m></m> , <m></m> .根据对称性，可得 <m></m> ,所以 <m>,</m> <m></m> . 问题2：如图2，作点 <m></m> 关于 <m></m> 轴的对称点 <m></m> ，以 <m></m> 为终边的角 <m></m> 与角 <m></m> 有什么关系？角 <m></m> 与角 <m></m> 的三角函数值之间有什么关系？ [答案] <m></m> , <m></m> .根据对称性，可得 <m></m> ,所以 <m></m> , <m></m> .
问题3：如图3，作点 <m></m> 关于 <m></m> 轴的对称点 <m></m> ，以 <m></m> 为终边的角 <m></m> 与角 <m></m> 有什么关系？角 <m></m> 与角 <m></m> 的三角函数值之间有什么关系？ [答案] <m></m> , <m></m> .根据对称性，可得 <m></m> ,所以 <m></m> , <m></m> .
新知生成1.诱导公式与对称（1） <m></m> _______， <m></m> ______. （2） <m></m> _______， <m></m> _______. （3） <m></m> _____， <m></m> _______. 2.记忆规律 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的三角函数值等于 <m></m> 的同名函数值，再放上将 <m></m> 当作锐角时原函数值的符号. <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m>
新知运用例1 求值： <m></m> . [解析] 原式 <m></m> .
&1& 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤:
1. <m></m> 的值为____. -1[解析] 原式 <m></m> <m></m> <m></m> .
2.求值： <m></m> . [解析] 原式 <m></m> <m></m> <m></m> .
探究2 给值求值 上课时，数学老师在黑板上写出一个问题：已知 <m></m> ，求 <m></m> 的值.王浩宇同学的解答如下： <m></m> , <m></m> , <m></m> 老师将 <m></m> 改为 <m></m> ，要求同学们再计算结果.
问题1：王浩宇的答案是否正确？他的解答过程正确吗？[答案] 答案正确，但他只是找到了满足条件的特殊角，对于是否有其他角，其他的结果，无从知晓,故方法不正确.问题2：老师将 <m></m> 改为 <m></m> 后，王浩宇的方法还可行吗？ [答案] 不可行，从特殊角上找不到适合条件的角.问题3：角 <m></m> 与 <m></m> 之间有什么关系？ <m></m> 与 <m></m> 有什么关系？ [答案] <m></m> ； <m></m> .
新知生成 解给值求值问题，将已知式子进行变形向所求式子转化或将所求式子进行变形向已知式子转化，想方设法将已知式与所求式之间的各种差异消除，从而将问题解决，同时要注意式子的整体代入，即观察、消除差异、整体代入.
新知运用例2 （1）已知 <m></m> ，则 <m></m> _____. （2）已知 <m></m> ，求 <m></m> 的值. <m></m> 方法指导 （1）因为 <m></m> ，所以运用诱导公式可以将问题顺利解决.（2）利用诱导公式，化简 <m></m> 和 <m></m> ，再用商数关系代入求值.
[解析] （1） <m></m> .（2）因为 <m></m> ， <m></m> ，所以原式 <m></m> .
&2& 解决条件求值问题的策略 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 诱导公式与对称 课件
