1.7 平面向量的应用举例
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
最新课程标准学科核心素养1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用．1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(直观想象、逻辑推理)2．会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．(数学建模、数学运算)
新知初探·课前预习
教材要点要点一 向量在平面几何中的应用(1)线线平行问题：不重合的两条直线a，b平行⇔a∥b⇔a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(a，b为非零向量)．(2)线线垂直问题：两条直线a，b垂直⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．(3)夹角问题：两个向量的夹角公式cos θ＝＝.(4)线段的长度问题：向量模的公式|a|＝＝.
要点二 物理中的向量问题(1)力的问题力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上，主要涉及的问题是力的合成与分解．(2)速度与位移问题速度、位移问题主要涉及合成与分解，其实就是向量的加减法，可以通过向量的线性运算来解决，也可借助坐标运算来求解．(3)功与动量问题物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．即W＝|F||s|cos 〈F，s〉．功是一个实数，它可正、可负，也可为零．物理中的动量涉及物体的质量m，物体运动的速率v，因此动量的计算也是向量的数乘运算．
基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( )(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )(3)物理学中的功是一个向量．( )(4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．( ) ×××√
2．在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是( )A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形 答案：C解析：由＝知BC∥AD，且BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．由·＝0知AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形．
3．若向量＝＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )A．(5，0) B．(－5，0)C． D．－ 答案：C解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝＝.
4．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________． 3解析：∵＝)＝(－1，2)∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.
题型探究·课堂解透
题型 1 平面向量在几何证明中的应用例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：方法一 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又因为＝＝－a＋＝＝b＋，所以·＝·＝－a·b＋＝＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二 建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)．因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
方法归纳用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题．
跟踪训练1 已知点O，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，·＝·＝·，则点O，P依次是△ABC的( )A．重心，垂心 B．重心，内心C．外心，垂心 D．外心，内心 答案：C解析：∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等∴O是三角形的外心∵·＝·＝·∴·()＝0，·()＝0∴⊥⊥∴P是△ABC的垂心．
题型 2 平面向量在几何求值中的应用例2 在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若点P为边BC上的动点，则·的最大值为( )A． B．－C．－ D．－2 答案：C
解析：如图，以B为原点，BA，BC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系．作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，在△ADE中，因为AD＝2，所以AE＝1，DE＝.在△CDF中，因为DF＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝，BC＝，则A(1，0)，D(2，)．设P(0，t)，0≤t≤，则＝(－1，t)，＝(2，－t)，所以·＝－t2＋t－2，当t＝时，·取得最大值，且(·)max＝－.
方法归纳(1)用向量法求长度的策略①利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.(2)向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算．
跟踪训练2 (1)如图，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝__________． 解析：(1)由题意知2＝，因为＝5p＋2q，＝p－3q，所以2＝＝6p－q，所以2||＝|6p－q|＝＝15，所以||＝.
(2)已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，则∠EAC的大小为________. 解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(，1)，E，＝(，1)，＝·＝2.cos ∠EAC＝＝＝，因为0<∠EAC<，所以∠EAC＝.
题型 3 向
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.7平面向量的应用举例 课件
