2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.2.2 复数的乘、除运算 课件

7.2.2　复数的乘、除运算 课程标准1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教 材 要 点要点一　复数代数形式的乘法法则及运算律1．复数代数形式的乘法法则❶已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________．2．复数乘法的运算律❷对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝____________结合律(z1z2)z3＝________________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________________(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3 要点二　复数除法的运算法则❸设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则＝＝__________(c＋di≠0)． i  助 学 批 注批注❶　复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．批注❷　多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．批注❸　(1)分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)注意最后结果要将实部、虚部分开． 夯 实 双 基　1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　)(2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　)(3)若z为复数，则z2＝|z|2.(　　)(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.(　　)×√×√ 2．复数i(1＋i)＝(　　)A. －1＋i B．2＋iC. 1＋i D．－2－i答案：A解析：由题可知i(1＋i)＝－1＋i.故选A. 3．复数＝(　　)A. B．C. －D．－ 答案：C解析：根据复数的运算法则，可得＝＝i.故选C.  4．复数z＝(1－3i)2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．－6解析：z＝(1－3i)2＝1－6i＋9i2＝－8－6i，故z的虚部为－6. 题型探究·课堂解透 题型 1　复数代数形式的乘法运算例1　计算：(1)(3－2i)(5＋4i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)．解析：(1)(3－2i)(5＋4i)＝3×5＋8＋(12－10)i＝23＋2i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＝(3＋11i)(3－4i)＝9－12i＋33i－44i2＝53＋21i. 题后师说两个复数代数形式乘法运算的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 巩固训练1　(1)[2022·河北保定高一期末]若＝(3＋i)(2－i)，则z＝(　　)A．5＋i　　B．7＋iC．5－iD．7－i 答案：B解析：(1)因为＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以z＝7＋i.故选B.  (2)[2022·广东广州高一期末]设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是实数，则实数a的值为(　　)A．－1 B．0C．1 D．2答案：C解析：(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i－ai2＝1＋a＋(a－1)i，它是实数，则a－1＝0，a＝1.故选C. 题型 2　复数代数形式的除法运算例2　(1)；(2)；(3).  解析： (1)＝＝＝i；(2)＝＝－i；(3)＝＝＝1－i.  题后师说两个复数代数形式除法运算的一般步骤 巩固训练2　(1)[2022·山东德州高一期末]若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D解析：因为z(1＋i)＝4－3i，所以z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内所对应的点为(，－)，位于第四象限．故选D.  (2)(多选)[2022·河北张家口高一期末]已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)A．z的虚部是1B．在复平面内对应点落在第二象限C．z(1－i)＝5－3iD．z＝ 答案：AC解析：由题意得z＝＝＝＝4＋i，对于A：z的虚部是1，故A正确；对于B：＝4－i，在复平面内对应点为(4，－1)落在第四象限，故B错误；对于C：z(1－i)＝(4＋i)(1－i)＝4－4i＋i＋1＝5－3i，故C正确；对于D：z＝(4＋i)(4－i)＝42－i2＝17，故D错误．故选AC.  题型 3　在复数范围内解方程例3　在复数范围内解方程：x2＋4x＋6＝0. 解析：法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，因为(i)2＝(－i)2＝－2，所以x＋2＝i或x＋2＝－i，即x＝－2＋i或x＝－2－i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.  法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以又因为b≠0，所以解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.  题后师说在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 巩固训练3　[2022·福建厦门高一期末]已知复数z1，z2是方程x2＋x＋1＝0的两根，则(　　)A．z1＋z2＝1　　　　B．＝＝1＝D．z1＋∈R 答案：B 解析：由x2＋x＋1＝0，得z1＝－i，z2＝－i，故z1＋z2＝－1，A选项错误；＝＝1，＝＝1，B选项正确；＝(－i)2＝i－＝－i＝z2，C选项错误；＋z1＝i＝i，D选项错误．故选B.