2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线方程的点斜式 课件

新知初探·课前预习 [教材要点]要点一　直线的方程一般地，如果一条直线上的每一点的坐标都是____________，并且以这个方程的解为坐标的点都________，那么这个方程称为直线l的方程．一个方程的解在直线l上 要点二　直线方程的点斜式1．定义：已知直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则把方程________________称为直线方程的点斜式．2．说明：①当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，如图(1)②当直线l与x轴垂直时，直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝x0，如图(2)．y－y0＝k(x－x0) 状元随笔　关于点斜式的几点说明①直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．②方程y －y0＝k(x －x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．③当k取任意实数时，方程y －y0＝k(x －x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．  要点三　直线方程的斜截式1．定义：直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程________称为直线方程的斜截式．2．说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________．倾斜角是________的直线没有斜截式方程．y＝kx＋b截距直角 状元随笔　斜截式方程和截距的几点说明：①方程y＝kx ＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．②直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正．同理，直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为此直线的横截距．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距． ③直线方程的斜截式y＝kx ＋b，当k≠0时就是一次函数的标准形式．④由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x －1的斜率为k＝2，纵截距为－1. [基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式．(　　)(2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　)(3)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．(　　)(4)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2则k1·k2＝－1.(　　)×√×√ 2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是(　　)A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)解析：由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故选D.答案：D 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)A．y＝x＋1 B．y＝x－1C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D.答案：D 4．已知直线l的一个方向向量为v＝(2，1)且过点P(2，－3)的直线l的方程为________．解析：由直线的方向向量与直线的斜率的关系可知直线l的斜率k＝，由直线方程的点斜式得直线l的方程为y－(－3)＝(x－2)即x－2y－8＝0. 答案：x－2y－8＝0 题型探究·课堂解透 题型一　直线方程的点斜式及其应用例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点；(4)已知A(8，－6)，B(2，2)，以向量为方向向量且过点P(2，－3)．  解析：(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．(4)由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为k＝＝－，由直线方程的点斜式得直线的点斜式方程为：y＋3＝－(x－2)．  方法归纳求直线的点斜式方程的方法步骤1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 跟踪训练1　(1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．解析：k＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝0 (2)已知△ABC的三个顶点A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，若点D，E分别是边AB，AC的中点，则线段DE所在直线的点斜式方程是______________________．答案：y＋3＝(x－0)或y－1＝(x－3) 解析：因为A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，点D，E分别是边AB，AC的中点，所以D(3，1)，E(0，－3)，直线DE的斜率为＝.所以线段DE所在直线的点斜式方程是y＋3＝(x－0)或者y－1＝(x－3)．  题型二　直线方程的斜截式及其应用例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截