立体几何的最值
专题
一、考情分析
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面
,
此类问题多以规则几何体为载体
,
涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等
,
题目较为综合
,
解决此类问题一般可从两个方面思考：
一是函数法
,
即利用传统方法或空间向量的坐标运算
,
建立所求的目标函数
,
转化为函数的最值问题求解；
二是直接法
,
即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论
,
直接判断最值
.
纵观近几年高考对于组合体的考查
,
重点放在与球相关的外接与内切问题上
.
要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力
,
才能顺利解答
.
从实际教学来看
,
这部分知识是学生掌握最为模糊
,
看到就头疼的题目
.
分析原因
,
除了这类题目的入手确实不易之外
,
主要是学生没有形成解题的模式和套路
,
以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理
．
二、经验分享
1.
解决立体几何中的最值问题常见方法有：
(1)
建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值
.
解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；
有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等
.
(2)
公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短
.
球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等
.
如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径
.
(3)
解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊
不等关系求解：如
最小角定理所建立的不等关系等等
.
(4)
展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由
难化易
.
(5)
变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法
.
除了上述
5
种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特
殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在
.
2.
决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解
3.
解决几何体体积最值问题的方法
：
(1)
根据条件建立两个变量的和或积为定值
,
利用基本不等式求体积的最值
；
(2)
通过建立相关函数式
,
将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解
,
此法应用最为广泛
；
(3)
由图形的特殊位置确定最值
,
如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
4.
解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径
三、题型分析
(
一
)
距离最值问题
1.
空间中两点间距离的最值问题
【例
1
】正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
1,
M
、
N
分别在线段
A
1
C
1
与
B
D
上
,
求
MN
的最小值
.
【小试牛刀】如图所示
,
在空间直角坐标系中
,
D
是坐标原点
,
有一棱长为
a
的正方体
A
BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
，
E
和
F
分别是体对角线
A
1
C
和棱
A
B
上的动点
,
则
∣
EF
∣
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
2.
几何体表面上的最短距离问题
【例
2
】正三棱柱
ABC—A
1
B
1
C
1
中
,
各棱长均为
2,M
为
AA
1
中点
,N
为
BC
的中点
,
则在棱柱的表面上从点
M
到点
N
的最短距离是多少
?
并求之
.
【小试牛刀】在侧棱长为
2
√
3
的正三棱锥
S-ABC
中
，∠
ASB=
∠
BSC=
∠
CSA=40
°，
过
A
作截面
A
EF
，
交
SB
于
E
，
交
SC
于
F
，
则截面
AEF
周长的最小值为
__________
．
(
二
)
面积的最值
1.
旋转体中面积的最值
【例
3
】一个圆锥轴截面的顶角为
,
母线为
2,
过顶点作圆锥的截面中
,
最大截面面积为
.
【小试牛刀】圆
立体几何的最值（讲义）高中数学专题复习
