第
8
讲 函数与导数
一、知识回扣
1.
函数的定义域和值域
(1)
求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)
常见函数的值域
①
一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的值域为
R
；
②
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
：当
a
>0
时，值域为
，当
a
<0
时，值域为
；
③
反比例函数
y
＝
(
k
≠0)
的值域为
{
y
∈
R
|
y
≠0}
．
2.
函数的奇偶性、周期性
(1)
奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意
x
(
定义域关于原点对称
)
，都有
f
(
－
x
)
＝
_
－
f
(
x
)
__
成立，则
f
(
x
)
为奇函数
(
都有
f
(
－
x
)
＝
_
f
(
x
)
__
成立，则
f
(
x
)
为偶函数
)
．
(2)
周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数
f
(
x
)
，如果对于定义域内的任意一个
x
的值，若
_
f
(
x
＋
T
)
＝
f
(
x
)(
T
≠0)
__
，则
f
(
x
)
是周期函数，
T
是它的一个周期．
3.
关于函数周期性、对称性的结论
(1)
函数的周期性
①
若函数
f
(
x
)
满足
f
(
x
＋
a
)
＝
f
(
x
－
a
)
，则
f
(
x
)
为周期函数，
_
2
a
__
是它的一个周期；
②
若函数
f
(
x
)
满足
f
(
x
＋
a
)
＝
，则
f
(
x
)
为周期函数，
_
2
a
__
是它的一个周期；
③
若函数
f
(
x
)
满足
f
(
x
＋
a
)
＝－
f
(
x
)
，则
f
(
x
)
为周期函数，
_
2
a
__
是它的一个周期．
(2)
函数图象的对称性
①
若函数
y
＝
f
(
x
)
满足
f
(
a
＋
x
)
＝
f
(
b
－
x
)
，
则函数
f
(
x
)
的图象关于直线
x
＝
对称．
②
若函数
y
＝
f
(
x
)
满足
f
(
a
＋
x
)
＝－
f
(
b
－
x
)
，
则函数
f
(
x
)
的图象关于点
对称．
4.
函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①
单调性的定义的等价形式：设任意
x
1
，
x
2
∈
[
a
，
b
]
，且
x
1
≠
x
2
，
那么
(
x
1
－
x
2
)[
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)]>0
⇔
>0
⇔
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上是
_
增
__
函数；
(
x
1
－
x
2
)[
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)]<0
⇔
<0
⇔
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上是
_
减
__
函数．
②
若函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减函数，则在公共定义域内，
f
(
x
)
＋
g
(
x
)
是减函数；若函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是增函数，则在公共定义域内，
f
(
x
)
＋
g
(
x
)
是增函数；根据同增异减判断复合函数
y
＝
f
(
g
(
x
))
的单调性．
5.
指数函数与对数函数的基本性质
(1)
定点：
y
＝
a
x
(
a
>0
，且
a
≠1)
恒过
(0,1)
点；
y
＝
log
a
x
(
a
>0
，且
a
≠1)
恒过
(1,0)
点．
(2)
单调性：当
a
>1
时，
y
＝
a
x
在
R
上单调递增；
y
＝
log
a
x
在
(0
，＋
∞)
上单调递增；
当
0<
a
<1
时，
y
＝
a
x
在
R
上单调递减；
y
＝
log
a
x
在
(0
，＋
∞)
上单调递减．
6.
函数与方程
(1)
零点定义：
x
0
为函数
f
(
x
)
的零点
⇔
f
(
x
0
)
＝
0
⇔
(
x
0,
0)
为
f
(
x
)
的图象与
x
轴的交点．
(2)
确定函数零点的三种常用方法
①
解方程判定法：解方程
f
(
x
)
＝
0
；
②
零点存在性定理法：根据连续函数
y
＝
f
(
x
)
满足
f
(
a
)
f
(
b
)<0
，判断函数在区间
(
a
，
b
)
内存在零点；
③
数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
7.
导数的几何意义
(1)
f
′(
x
0
)
的几何意义：曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(
x
0
，
f
(
x
0
))
处的切线的斜率，该切线的方程为
y
－
f
(
x
0
)
＝
f
′(
x
0
)·(
x
－
x
0
)
．
(2)
切点的两大特征：
①
在曲线
y
＝
f
(
x
)
上；
②
在切线上．
8.
利用导数研究函数的单调性
(1)
求可导函数单调区间的一般步骤
①
求函数
f
(
x
)
的定义域；
②
求导函数
f
′(
x
)
；
③
由
f
′(
x
)>0
的解集确定函数
f
(
x
)
的单调增区间，由
f
′(
x
)<0
的解集确定函数
f
(
x
)
的单调减区间．
(2)
由函数的单调性求参数的取值范围
①
若可导函数
f
(
x
)
在区间
M
上单调递增，则
f
′(
x
)≥0(
x
∈
M
)
恒成立；若可导函数
f
(
x
)
在区间
M
上单调递减，则
f
′(
x
)≤0(
x
∈
M
)
恒成立；
②
若可导函数在某区间上存在单调递增
(
减
)
区间，
f
′(
x
)>0(
或
f
′(
x
)<0)
在该区间上存在解集；
③
若已知
f
(
x
)
在区间
I
上的单调性，区间
I
中含有参数时，可先求出
f
(
x
)
的单调区间，则
I
是其单调区间的子集．
9.
利用导数研究函数的极值与最值
(1)
求函数的极值的一般步骤
①
确定函数的定义域；
②
解方程
f
′(
x
)
＝
0
；
③
判断
f
′(
x
)
在方程
f
′(
x
)
＝
0
的根
x
0
附近两侧的符号变化：
若左正右负，则
x
0
为极
_
大
__
值点；
若左负右正，则
x
0
为极
_
小
__
值点；
若不变号，则
x
0
不是极值点．
(2)
求函数
f
(
x
)
在区间
[
a
，
b
]
上的最值的一般步骤
①
求函数
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内的极值；
②
比较函数
y
＝
f
(
x
)
的各极值与端点处的函数值
f
(
a
)
，
f
(
b
)
的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、易错提醒
1.
解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2.
解决分段函数问题时，要注意与
2024届新教材高中数学二轮复习函数与导数学案
