2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.2.2　第2课时　指数函数的图象和性质(二) 学案

第 2 课时　指数函数的图象和性质 ( 二 ) 学习目标 　 1 . 会解简单的指数方程、指数不等式 . 2 . 会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域和单调区间 . 教材知识梳理 一 指数方程或指数不等式的解法 解指数方程 a x = b , 或者指数不等式 a x > b 的关键 , 在于化成 同底指数幂 . 二 与指数函数相关的复合函数单调性 对于由指数函数演化出来的函数性质研究 , 常常结合换元法 , 从复合函数的角度分析 , 单调性满足复合函数的 同增异减 法则 . 三 生活中的指数函数 生活中的带有指数函数特征的函数模型 , 要能够将其转化为相关的指数函数问题 , 然后加以解决 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 若 0 . 3 a >0 . 3 b , 则 a > b. ( 　 × 　 ) (2) 若 a m >1, 则 m >0 . ( 　 × 　 ) (3) 函数 y = 的定义域为 { x | x ≠0} . ( 　 √ 　 ) (4) 函数 y = 1- x 在 R 上单调递减 . ( 　 × 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P118 例 4) 某化工厂生产一种溶液 , 按市场要求 , 杂质含量不能超过 0 . 1%, 若初始溶液含杂质 2%, 每过滤 1 次可使杂质含量减少 . (1) 写出杂质含量 y 与过滤次数 n 的函数关系式 ; (2) 过滤 7 次后的杂质含量是多少 ? 过滤 8 次后的杂质含量是多少 ? 至少应过滤几次才能使产品达到市场要求 ? 【详解】 (1) 过滤 1 次后的杂质含量为 × 1- = × , 过滤 2 次后的杂质含量为 × × 1- = × 2 , 过滤 3 次后的杂质含量为 × 2 × 1- = × 3 , …… 过滤 n 次后的杂质含量为 × n ( n ∈ N * ) . 故 y 与 n 的函数关系式为 y = × n ( n ∈ N * ) . (2) 由 (1) 知 , 当 n =7 时 , y = × 7 = , 当 n =8 时 , y = × 8 = , 因为 > , < , 所以至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求 . 教材拓展延伸 【例 2 】 (1) 不等式 4 x <4 2-3 x 的解集是 　　　　　　 .  【答案】 ( -∞, ) 【详解】因为 4 x <4 2-3 x , 所以 x <2-3 x , 所以 x < . 　 (2) 若 a -5 x > a x +7 ( a >0 且 a ≠1), 求 x 的取值范围 . 【详解】 ① 当 a >1 时 , 因为 a -5 x > a x +7 , 且 y = a x 为增函数 , 所以 -5 x > x +7, 解得 x <- . ② 当 0< a <1 时 , 因为 a -5 x > a x +7 , 且 y = a x 为减函数 , 所以 -5 x < x +7, 解得 x >- . 综上所述 , 当 a >1 时 , x 的取值范围为 ( -∞,- ) . 当 0< a <1 时 , x 的取值范围为 ( - ,+∞ ) . 【归纳总结】 指数不等式的解法 　 (1) 形如 a x > a y 的不等式 : 可借助 y = a x 的单调性求解 . 如果 a 的值不确定 , 需分 0< a <1 和 a >1 两种情况讨论 . (2) 形如 a x > b 的不等式 : 关键在于化同底 , 即将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式 , 再借助 y = a x 的单调性求解 . 【例 3 】求函数 f ( x )= ( ) 的定义域、值域及单调区间 . 【详解】显然 , 函数 f ( x ) 的定义域为 R . 令 t = x 2 -2 x , 则原函数变为 y = ( ) t . 因为 t = x 2 -2 x 在 (-∞,1] 上单调递减 , 在 [1,+∞) 上单调递增 , 又因为 y = ( ) t 在 R 上单调递减 , 所以 y = ( ) 在 (-∞,1] 上单调递增 , 在 [1,+∞) 上单调递减 . 因为 t = x 2 -2 x ≥-1, 所以 y = ( ) t , t ∈ [-1,+∞), 于是 , 结合图象 ( 图略 ) 可知原函数的值域为 (0,3] . 【归纳总结】 一般地 , 形如 y = a f ( x ) ( a >0, 且 a ≠1) 函数的性质如下 　 (1) 函数 y = a f ( x ) 与函数 y = f ( x ) 有相同的定义域 . (2) 研究 y = a f ( x ) 型函数的单调区间时 , 要注意 a >1 还是 0< a <1 . 当 a >1 时 , y = a f ( x ) 与 f ( x ) 单调性相同 . 当 0< a <1 时 , y = a f ( x ) 与 f ( x ) 单调性相反 . (3) 求值域的步骤 : ① 换元 , t = f ( x ) . ② 求 t = f ( x ) 的范围 M. ③ 利用 y = a t 的单调性求 y = a t , t ∈ M 的值域 . 【例 4 】已知函数 f ( x )= . (1) 证明 f ( x ) 为奇函数 ; (2) 判断 f ( x ) 的单调性 , 并用定义证明 ; (3) 求 f ( x ) 的值域 . 【详解】 (1) 由题意知 f ( x ) 的定义域为 R, f (- x )= = = =- f ( x ), 所以 f ( x ) 为奇函数 . (2) f ( x ) 在定义域上是增函数 . 证明如下 : 任取 x 1 , x 2 ∈ R, 且 x 1 < x 2 , f ( x 2 )- f ( x 1 )= - = ( 1- ) - ( 1- ) = . 因为 x 1 < x 2 , 所以 - >0, +1>0, +1>0, 所以 f ( x 2 )> f ( x 1 ), 所以 f ( x ) 为 R 上的增函数 . (3) f ( x )= =1- , 因为 3 x >0 ⇒ 3 x +1>1 ⇒ 0< <2 ⇒ -2<- <0, 所以 -1<1- <1, 即 f ( x ) 的值域为 (-1,1) .