5．5 数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题．
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教 材 要 点知识点一 归纳法由有限多个个别的特殊事例得出________的推理方法，通常称为归纳法．一般结论
【思考探究】设函数f(x)＝(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，归纳推理，得当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．
[提示] 依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…可推知an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2，4，8，16，…，故其通项bn＝2n，所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.[答案]
知识点二 数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取________(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立．(2)假设当________(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．初始值n0n＝kn＝k＋1
基 础 自 测1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n＋1层花盆总数分别是f(n)和f(n＋1)，则f(n)与f(n＋1)的关系为( )A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1B．f(n＋1)－f(n)＝nC．f(n＋1)－f(n)＝2nD．f(n＋1)－f(n)＝1答案：A
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )A．1 B．2C．3 D．0 解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C
3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为( )A．2k－2 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中，当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)，∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1.答案：D
4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2，∴n＝k＋2.k＋2
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数学归纳法的概念例1 用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3 【解析】 实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.【答案】 C
状元随笔 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
方法归纳1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
跟踪训练1 下列四个判断中，正确的是( )A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋kC．式子＋…＋(n∈N＋)，当n＝1时为1＋D．设f(n)＝＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋ 解析：对于选项A，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋. 答案：C
用数学归纳法证明等式例2 用数学归纳法证明：1－＋…＋＝＋…＋(n∈N＋)． 【证明】 ①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－＋…＋＝＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋…＋＝＝＝＋…＋＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n∈N＋成立．
状元随笔 要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
方法归纳1．用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
跟踪训练2 用数学归纳法证明：＋…＋＝(其中n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，等式左边＝＝，等式右边＝＝，∴等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即＋…＋＝成立，那么当n＝k＋1时，＋…＋＝＝＝＝，即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立．
数学归纳法证明整除问题例3 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.【证明】 (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1
2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 5.5数学归纳法 课件
