2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 6.2.3-6.2.4　组合 组合数 学案

6.2.3 - 6.2.4 　组合 组合数 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 1 ．通过实例，理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系． 2 ．能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明． 3 ．能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力 . 重点： 组合数的概念和组合数公式． 难点： 组合数公式的推导；组合的应用；能根据实际问题的特征，正确区分 “ 排列 ” 和 “ 组合 ”． 核心素养： 逻辑推理、数学运算、数学建模 . 必备知识 · 探新知 　 知识点 1 　组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m ( n ≥ m ) 个元素并成一组，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． 思考 1 ： 组合概念中的两个要点是什么？ 提示： (1) 取出的元素是不同的． (2) “ 只取不排 ” ，即取出的 m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质． 　 知识点 2 　组合数的概念、公式、性质 组合数定义 从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的所有 _ 不同组合 __ 的个数，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 表示法 _ C __ 组合数公式 乘积式 C ＝ ＝ _ __ 组合数公式 阶乘式 C ＝ _ __ 性质 C ＝ _ C __ ， C ＝ _ C ＋ C __ 备注 n ， m ∈ N * 且 m ≤ n ， ② 规定： C ＝ 1 思考 2 ： 组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？ 提示： 第一个性质中，若 m > ，通常不直接计算 C ，而改为计算 C ，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用． 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一　组合的概念 典例 1 　下列问题不是组合问题的是 ( 　 D 　 ) A ．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B ．平面上有 2016 个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C ．集合 { a 1 ， a 2 ， a 3 ， … ， a n } 含有三个元素的子集有多少个？ D ．从高三 (19) 班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ [ 分析 ] 　 区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题． [ 解析 ] 　 组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关， D 选项中，选出的 2 名学生，如甲、乙，其中 “ 甲参加独唱，乙参加独舞 ” 与 “ 乙参加独唱，甲参加独舞 ” 是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选 D ． [ 规律方法 ] 　 判断一个问题是否为组合问题的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 【对点训练】 ❶ 已知 A ， B ， C ， D ， E 五个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合． [ 解析 ] 　 解法一：可按 AB → AC → AD → BC → BD → CD 的顺序写出，即 ∴ 所有组合为 ABC ， ABD ， ABE ， ACD ， ACE ， ADE ， BCD ， BCE ， BDE ， CDE . 解法二：画出树形图，如图所示． ∴ 所有组合为 ABC ， ABD ， ABE ， ACD ， ACE ， ADE ， BCD ， BCE ， BDE ， CDE . 题型二　组合数公式的应用 典例 2 　 (1) 式子 可表示为 ( 　 D 　 ) A ． A B ． C C ． 100C D ． 101C (2)( 多选 ) 下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是 ( 　 ABD 　 ) A ． ( n ＋ 1)A ＝ A B ． m C ＝ n C C ． C ＝ D ． A ＝ A [ 分析 ] 　 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明． [ 解析 ] 　 (1) 分式的分母是 100 ！，分子是 101 个连续自然数的乘积，最大的为 n ＋ 100 ，最小的为 n ， 故 ＝ 101· ＝ 101C . (2) 对于 A ， ( n ＋ 1)A ＝ ( n ＋ 1) n ( n － 1)· … ·( n － m ＋ 1) ＝ A ，故 A 正确； 对于 B ， C ＝ ， C ＝ ，所以 C ＝ ＝ · ＝ ·C ， 所以 m C ＝ n C ，故 B 正确； 对于 C ， C ＝ ＝ ，故 C 错误； 对于 D ， A ＝ · n ·( n － 1)· … ·( n － m ) ＝ n ( n － 1)· … ·( n － m ＋ 1) ＝ A ，故 D 正确．故选 ABD ． [ 规律方法 ] 　 巧用组合数公式解题 (1) 涉及具体数字的可以直接用 C ＝ ＝ 进行计算． (2) 涉及字母的可以用阶乘式 C ＝ 计算． (3) 与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 C 中的 m ∈ N * ， n ∈ N * ，且 n ≥ m 确定 m ， n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． 【对点训练】 ❷ (1) 计算： C ＋ C ·C ； (2) 已知 － ＝ ，求 C . [ 解析 ] 　 (1) 原式＝ C ＋ C × 1 ＝ ＋ ＝ 56 ＋ 4950 ＝ 5006. (2) 原方程可化为 － ＝ 即 － ＝ . ∴ 1 － ＝ ， 即 m 2 － 23 m ＋ 42 ＝ 0 ，解得 m