2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.6解三角形1.6.2正弦定理第2课时正弦定理2 课件

第2课时　正弦定理(2) 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点一　扩充的正弦定理在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则＝＝＝________．要点二　几个常用结论(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.(4)＝＝＝. 2R 要点三　三角形的面积公式在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ha，hb，hc分别为三条边上的高，R和r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，S为△ABC的面积，则(1)S＝aha＝bhb＝chc；(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B；(3)S＝；(4)S＝2R2sin A sin B sin C；(5)S＝(a＋b＋c)·r；(6)S＝.  基础自测1.在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)A．A>BB．A<BC．A≤BD．A，B的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理可知：＝，由sin A>sin B⇒a>b⇒A>B.  2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶∶2 D．2∶∶1 答案：C解析：由题A∶B∶C＝1∶2∶3且A＋B＋C＝π，∴A＝，B＝，C＝，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.  3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：D解析：a cos A＝b cos B，正弦定理可得2R sin A cos A＝2R sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．  4．在△ABC中，A、B、C成等差数列，且b＝2，则外接圆的半径R＝________． 解析：在△ABC中，A、B、C成等差数列，可得2B＝A＋C 因为A＋B＋C＝π，可得3B＝π，解得B＝，又因为b＝2，由正弦定理可得2R＝＝＝，可得R＝，即外接圆的半径R＝.  题型探究·课堂解透 题型 1　与三角形外接圆半径有关的问题例1　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos A＋a cos C＝3a.(1)求的值；(2)若a＝1，c＝，求△ABC外接圆的面积．  解析：(1)因为c cos A＋a cos C＝3a，由正弦定理得sin C cos A＋sin A cos C＝3sin A，即sin (A＋C)＝3sin A，所以sin B＝3sin A，由正弦定理得＝＝.(2)因为a＝1，c＝，所以b＝3所以cos C＝＝＝，所以sin C＝＝，由正弦定理得2R＝＝＝，所以S＝πR2＝π＝.  方法归纳解决与三角形外接圆有关的问题时，关键会应用扩充的正弦定理求出外接圆的半径，然后再解决其它问题． 跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，∠C＝.(1)求△ABC外接圆的面积S；(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．   解析：(1)设△ABC外接圆的半径为R，因为c＝2，∠C＝，由正弦定理，可得2R＝＝，即R＝，因此外接圆的面积为S＝π×＝.(2)由sin B＝2sin A及正弦定理，可得b＝2a，由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C，从而4＝a2＋4a2－4a2×＝3a2，a2＝，所以S△ABC＝ab sin C＝a×2a×＝a2＝.  题型 2　判断三角形形状例2　(1)在△ABC中，若b cos A cos C＋c cos A cos B＝0，则△ABC是(　　)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．钝角三角形解析：由题意变形，利用正弦定理化简可得：cos A(sin B cos C＋sin C cos B)＝0，即cos A sin (B＋C)＝0，所以cos A sin A＝0，由0<A<π，所以cos A＝0，所以A＝. 答案：C (2)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则△ABC的形状为___________(填“锐角三角形”“钝角三角形”或“直角三角形”)． 钝角三角形解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，结合正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，则c>b>a，所以C>B>A，结合余弦定理cos C＝＝<0，又C∈(0，π)，所以C∈，即C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．  方法归纳结合三角形的性质和正、余弦定理判断三角形的形状，是解三角形中的一类重要问题．解决这类问题时，一是要注意三角形的有关结论，如内角和定值、勾股定理、余弦定理、正弦定理以及等腰三角形和正三角形的一些性质；二是要注意三角函数的相关性质和结论． 跟踪训练2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c<b cos A，则△ABC为(　　)A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形答案：A解析：由正弦定理可得 sin C<sin B cos A，即sin [π－(A＋B)]<sin B cos A，所以sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A<sin B cos A故sin A cos B<0因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，则△ABC为钝角三角形． 题型 3　正、余弦定理的综合应用例3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B，5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．(1)求sin A的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．   解析：(1)∵m＝(sin B，5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sinB sin C＋5sin2C－5sin2A＝0，即sin2B＋sin2C－sin2A＝，根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，由