01题型突破·析典例
题型一 利用导数研究函数的零点个数【例1】 给定函数f（x）＝ex－x.（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域；解 （1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－1，令f'（x）＝0，解得x＝0.当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x（－∞，0）0（0，＋∞）f'（x）－0＋f（x）↘1↗所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增.当x＝0时，f（x）的极小值f（0）＝1，也是最小值，故函数f（x）的值域为[1，＋∞）.
（2）画出函数f（x）的大致图象；解 （2）由（1）可知，函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f（－1）＝＋1，f（2）＝e2－2，f（0）＝1，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞；当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示.
（3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数.解 （3）截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象，如图所示.由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（1，＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈（1，＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根；同理，当m＝1或＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根；当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根.
通性通法判断函数零点的个数问题的思路（1）求出函数的定义域；（2）求导数f'（x）及导数f'（x）的零点；（3）用f'（x）的零点将函数f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各个区间上的正负，并得出f（x）的单调性与极值；（4）确定f（x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）画出f（x）的大致图象；（6）由图象确定函数的零点个数.
已知函数f（x）＝－1. （1）求f（x）的单调区间；解：（1）函数的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，令f'（x）＝0，得x＝e1－a.f'（x）及f（x）随x的变化情况如下表： x（0，e1－a）e1－a（e1－a，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗极大值↘所以f（x）的单调递增区间为（0，e1－a），单调递减区间为（e1－a，＋∞）.
（2）当a≤1时，求函数f（x）在区间（0，e]上零点的个数.解：（2）由（1）可知f（x）的最大值为f（e1－a）＝，①当a＝1时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，e）上单调递减.又f（1）＝0，故f（x）在区间（0，e]上只有一个零点.②当a＜1时，1－a＞0，e1－a＞1，则f（e1－a）＝＜0，所以f（x）在区间（0，e]上无零点.综上，当a＝1时，f（x）在区间（0，e]上只有一个零点，当a＜1时，f（x）在区间（0，e]上无零点.
题型二 由函数的零点个数求参数的范围【例2】 若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）取得极值－. （1）求函数f（x）的解析式；解 （1）对f（x）求导得f'（x）＝3ax2－b，由题意得解得a＝，b＝4（经检验满足题意）.∴f（x）＝x3－4x＋4.
（2）若方程f（x）＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解 （2）由（1）可得f'（x）＝x2－4＝（x－2）（x＋2）.令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2.∴当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜2时，f'（x）＜0.因此，当x＝－2时，f（x）取得极大值，当x＝2时，f（x）取得极小值－.∴函数f（x）＝x3－4x＋4的大致图象如图所示.由图可知，实数k的取值范围是（－，）.
通性通法 与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题），确定参数的取值范围.
1.已知函数f（x）＝xex－ax－aln x＋a，若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围.解：f（x）＝xex－ax－aln x＋a＝xex－a（ln ex＋ln x－1）＝xex－a[ln（xex）－1].令t＝xex，x＞0，则t'＝（x＋1）ex＞0，所以t＝xex在（0，＋∞）上单调递增，且t＞0，t与x是一一对应的关系.则函数f（x）的零点的个数可转化为关于t的方程t－a（ln t－1）＝0的根的个数，即关于t的方程＝的根的个数.
令g（t）＝，则g'（t）＝.令g'（t）＝0可得t＝e2，当t在区间（0，＋∞）内变化时，g'（t），g（t）随t的变化情况如表： t（0，e2）e2（e2，＋∞）g'（t）＋0－g（t）↗↘t（0，e2）e2（e2，＋∞）g'（t）＋0－g（t）↗↘又g（e2）＝＞0，t→＋∞时，g（t）→0，t→0时，g（t）→－∞，所以要使f（x）有两个零点，则0＜＜，即a＞e2.所以实数a的取值范围为（e2，＋∞）.
2.（2021·全国甲卷）设函数f（x）＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0.（1）讨论f（x）的单调性；解：（1）由题意，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2a2x＋a－＝＝，则当x＞时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增.
（2）若y＝f（x）的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.解：（2）由（1）知函
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册利用导数研究函数的零点课件
