2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.2.1　指数函数的概念 学案

4.2 　指数函数 4.2.1 　指数函数的概念 学习目标 　 1 . 了解指数增长与指数衰减的概念 . 2 . 了解指数函数的概念 . 教材知识梳理 一 一般地 , 增长率为 常数 的变化方式 , 称为指数增长 ; 衰减率为常数的变化方式 , 称为 指数衰减 . 二 指数函数的定义 一般地 , 函数 y = a x ( a >0, 且 a ≠1) 叫做指数函数 , 其中 x 是自变量 , 定义域是 R . 解读 :(1) 规定 y = a x 中 a >0, 且 a ≠1 的理由 : ① 当 a ≤0 时 , a x 可能无意义 ; ② 当 a >0 时 , x 可以取任何实数 ; ③ 当 a =1 时 , a x =1( x ∈ R), 无研究价值 . 因此规定 y = a x 中 a >0, 且 a ≠1 . (2) 要注意指数函数的解析式 : ① 底数是大于 0 且不等于 1 的常数 . ② 指数函数的自变量必须位于指数的位置上 . ③ a x 的系数必须为 1 . ④ 指数函数等号右边不能是多项式 , 如 y =2 x +1 不是指数函数 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) 　 (1) 指数函数增长的速度永远比直线增长的速度快 . ( 　 × 　 ) (2) y =2 x +2 是指数函数 . ( 　 × 　 ) (3) 若 y = a x 是指数函数 , 则 a >0, 且 a ≠1 . ( 　 √ 　 ) (4) 指数函数的定义域为 R . ( 　 √ 　 ) 教材 典题变 式 【例 1 】 ( 源于 P114 例 1) 若指数函数 f ( x ) 的 图象 过点 (3,8), 则 f ( - ) = 　　　　　　 .  【答案】 【详解】设 f ( x )= a x ( a >0 且 a ≠1), 则由 f (3)=8 得 a 3 =8, 所以 a =2, 所以 f ( x )=2 x , 所以 f ( - ) = = . 【例 2 】 ( 源于 P114 例 2) 在某个时期 , 某湖泊中的蓝藻每天以 6 . 25% 的增长率呈指数增长 , 已知经过 30 天后 , 该湖泊的蓝藻数大约为原来的 6 倍 , 那么经过 60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 　　　　　　 倍 .  【答案】 36 【详解】该湖泊中的蓝藻每天以 6 . 25% 的增长率呈指数增长 , 经过 30 天后 , 该湖泊的蓝藻数大约为原来的 6 倍 , 设湖泊中原来蓝藻数量为 a , 则 a (1+6 . 25%) 30 =6 a , 所以经过 60 天后该湖泊的蓝藻数量为 y = a (1+6 . 25%) 60 = a [(1+6 . 25%) 30 ] 2 =36 a. 所以经过 60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 36 倍 . 教材拓展延伸 【例 3 】 (1) 下列函数中是指数函数的是 　　　　　　 . ( 填序号 )  ① y =2·( ) x ; ② y =2 x -1 ; ③ y = ( ) x ; ④ y = ; ⑤ y = . (2) 已知函数 f ( x )=(2 a -1) x 是指数函数 , 则实数 a 的取值范围是 　　　　　　 .  【答案】 (1) ③ 　 (2) ( ,1 ) ∪ (1,+∞) 【详解】 (1) ① 中指数式 ( ) x 的系数不为 1, 故不是指数函数 ; ② 中 y =2 x -1 = ·2 x , 指数式 2 x 的系数不为 1, 故不是指数函数 ; ④ 中指数不是 x , 故不是指数函数 ; ⑤ 中指数为常数且底数不是唯一确定的值 , 故不是指数函数 . (2) 由题意可知 解得 a > , 且 a ≠1, 所以实数 a 的取值范围是 ( ,1 ) ∪ (1,+∞) . 【例 4 】 (1) 某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克 , 如果该乡镇人口平均每年增长 1 . 2%, 粮食总产量平均每年增长 4%, 那么 x 年后 若人 均一年占有 y 千克粮食 , 则 y 关于 x 的解析式为 　　　　　　 .  (2) 衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发 , 从而体积缩小 . 刚放入的新樟脑丸体积为 a , 经过 t 天后樟脑丸的体积 V ( t ) 与天数 t 的关系式为 V ( t )= a ·2 - kt , 若新樟脑丸经过 80 天后 , 体积变为 a , 则函数 V ( t ) 的解析式为 　　　　　　 .  【答案】 (1) y =360 ( ) x 　 (2) V ( t )= a · ( ) ( t ≥0) 【详解】 (1) 不妨设现在乡镇人口总数为 a , 则现在乡镇粮食总量为 360 a , 故经过 x 年后 , 乡镇人口总数为 a (1+0 . 012) x , 乡镇粮食总产量为 360 a (1+0 . 04) x , 故经过 x 年后 , 人均一年占有粮食 y = =360 ( ) x . (2) 因为新樟脑丸经过 80 天后 , 体积变为 a , 所以 a = a ·2 -80 k , 所以 2 -80 k = , 所以 V ( t )= a ·2 - kt = a · ( ) . 所以函数 V ( t ) 的解析式为 V ( t )= a · ( ) ( t ≥0) . 【例 5 】三个变量 y 1 , y 2 , y 3 随变量 x 变化的数据如表 : x 0 5 10 15 20 25 30 y 1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y 2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 y 3 5 30 55 80 105 130 155 其中关于 x 呈指数增长的变量是 　　　　　　 .  【答案】 y 2 【详解】指数型函数呈 “ 爆炸式 ” 增长 . 从题中表格可以看出 , 三个变量 y 1 , y 2 , y 3 的值随着 x 的增长都是越来越大 , 但是增长速度不同 , 相比之下 , 变量 y 2 的增长速度最快 , 可知变量 y 2 关于 x 呈指数增长 .