01要点深化·核心知识提炼
知识点1.抛物线的方程、图形及性质图形标准方程顶点范围对称轴焦点离心率
准线方程续表
知识点2.抛物线的焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
02题型分析·能力素养提升
【题型一】抛物线几何性质及应用例1已知抛物线. （1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量的范围； 解抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量的范围分别为，，，轴，．
（2）以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形，，若焦点是的重心，求的周长. 如图，由可知轴，设垂足为，又焦点是的重心，则． 因为，所以，所以．设，代入，得，所以或，所以，， 所以，，所以的周长为．
题后反思研究抛物线的几何性质要从以下三个方面入手：（1）开口方向：由抛物线标准方程看图象开口方向，关键是看准二次项是还是，一次项的系数是正还是负.（2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.（3）定值：焦点到准线的距离为；过焦点且垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为. 跟踪训练1[2023镇江期中]抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为_____. <m></m>
[解析]由题意知，为等边三角形时，，所以垂直于抛物线的准线，设，则，所以等边三角形的边长为.因为，所以由，得，解得，所以等边三角形的边长为4，其面积为．
【题型二】与抛物线有关的最值问题例2求抛物线上的点到直线的最小距离. 解设为抛物线上的点,它到直线的距离，所以当时,有最小值.故最小距离为. 规律方法抛物线中最值的求解策略策略一：可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值问题，但要注意抛物线的范围.策略二：当条件中有关于抛物线上的点到焦点的距离问题时，一定要考虑抛物线的定义，注意点到点的距离与点到准线的距离的转化. 跟踪训练2已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___. 2
[解析]如图，因为抛物线的方程为，所以焦点坐标为，准线方程为．设点到准线的距离为，点到直线的距离为，则，所以，其中为焦点到直线 的距离．因为，所以所求距离之和的最小值是2．
【题型三】直线与抛物线角度1 直线与抛物线位置关系的判断例3[2023苏州调研]已知曲线.下面给出了三个问题，从中任意选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标及，的取值范围；②若，，写出曲线的方程，并求经过点且与曲线只有一个公共点的直线方程；③若，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
解选择①：因为，，所以该曲线的方程为，该曲线是抛物线，其对称轴方程是，顶点坐标为,焦点坐标为,的取值范围是,的取值范围是．选择②:因为，，所以该曲线的方程为，该曲线是抛物线，当过点的直线斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不符合题意.当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程可设为，
联立消去，得．当时，，符合经过点且与曲线只有一个公共点；当时，只需，解得，此时方程为．综上,符合题意的直线方程为或或选择③：因为，所以曲线的方程为，即当时，；当时，，当时，，因此，符合题意的这两个点可以是，．
规律方法 直线与抛物线交点问题的解题思路 （1）判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数. （2）直线与抛物线有一个公共点时，有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切.跟踪训练3已知直线，抛物线，求为何值时，与只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
解联立消去，得当时，式只有一个解，即，所以直线与只有一个公共点，此时直线平行于轴．当时，式是一个一元二次方程，．①当，即且时，与有两个公共点，此时直线与相交；②当，即时，与有一个公共点，此时直线与相切；③当，即时，与没有公共点，此时直线与相离．综上，当或0时，与只有一个公共点；当且时，与有两个公共点；当时，与没有公共点．
角度2 直线与抛物线的综合问题例4已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）若，求点的坐标； 解设,由抛物线的定义，可知，从而，代入，解得，所以点的坐标为或．
（2）求线段的长的最小值. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．联立消去，整理，得.因为直线与抛物线相交于，两点，所以.设,,则.由抛物线的定义，可知．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与抛物线相交于，，此时.故，即线段的长的最小值为4．
规律方法 解决直线与抛物线相交弦问题的常用方法 （1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式；若不过焦点，则必须用一般弦长公式. （2）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 抛物线的几何性质 课件
