2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示（学案）

6.3.4 　 平面向量数乘运算的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1. 掌握数乘向量的坐标运算 数学运算 2. 能用坐标表示平面向量共线的条件 逻辑推理 　　 已知 a ＝ （ x 1 ， y 1 ）， b ＝ （ x 2 ， y 2 ） . 问题 　 （ 1 ）若 a ∥ b ，则它们的坐标之间有什么关系？ （ 2 ） λ a （ λ ∈ R ）的坐标与 a 的坐标之间有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 平面向量数乘运算的坐标表示 　 已知 a ＝ （ x ， y ），则 λ a ＝ 　（ λx ， λy ）　 ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 　乘原来向量的相应坐标　 . 知识点二　平面向量共线的坐标表示 　 设 a ＝ （ x 1 ， y 1 ）， b ＝ （ x 2 ， y 2 ），其中 b ≠ 0 . 向量 a ， b 共线的充要条件是 　 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 　 . 提醒 　 （ 1 ） a ∥ b （ b ≠ 0 ） ⇔ a ＝ λ b . 这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关系；（ 2 ） a ∥ b ⇔ x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝0 ，其中 a ＝ （ x 1 ， y 1 ）， b ＝ （ x 2 ， y 2 ） . 这是代数运算，由于不需引进参数 λ ，从而简化了代数运算；（ 3 ） a ∥ b ⇔ ＝ ，其中 a ＝ （ x 1 ， y 1 ）， b ＝ （ x 2 ， y 2 ）且 y 1 ≠ 0 ， y 2 ≠ 0. 即两向量的对应坐标成比例 . 通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误 . 两向量 a ＝ （ x 1 ， y 1 ）， b ＝ （ x 2 ， y 2 ）共线的坐标条件能表示成 ＝ 吗？ 提示： 不能，当 x 2 ， y 2 有一者为零时，比例式没有意义 . 知识点三　中点坐标公式 若点 P 1 ， P 2 的坐标分别为（ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ），线段 P 1 P 2 的中点 P 的坐标为（ x ， y ），则 此公式为线段 P 1 P 2 的中点坐标公式 . 1. 已知向量 ＝ （ 2 ， 4 ）， ＝ （ 0 ， 2 ），则 ＝ （ 　　 ） A. （－ 2 ，－ 2 ） B. （ 2 ， 2 ） C. （ 1 ， 1 ） D. （－ 1 ，－ 1 ） 解析： D 　 ∵ ＝ （ 2 ， 4 ）， ＝ （ 0 ， 2 ）， ∴ ＝ － ＝ （ － 2 ， － 2 ）， ∴ ＝ （ － 1 ， － 1 ） . 2. 已知 a ＝ （－ 6 ， 2 ）， b ＝ （ m ，－ 3 ），且 a ∥ b ，则 m ＝ 　 　　　　 .   解析： ∵ a ＝ （ － 6 ， 2 ）， b ＝ （ m ， － 3 ），且 a ∥ b ， ∴ － 6 × （ － 3 ） － 2 m ＝ 0 ，则 m ＝ 9. 答案： 9 3. 已知 P （ 2 ， 6 ）， Q （－ 4 ， 0 ），则 PQ 的中点坐标为 　 　　　　 .   解析： 根据中点坐标公式可得， PQ 的中点坐标为（ － 1 ， 3 ） . 答案： （－ 1 ， 3 ） 题型一 平面向量数乘的坐标运算 【例 1 】 　 已知 a ＝ （－ 1 ， 2 ）， b ＝ （ 2 ， 1 ），求：（ 1 ） 2 a ＋ 3 b ；（ 2 ） a － 3 b ；（ 3 ） a － b . 解 　 （ 1 ） 2 a ＋ 3 b ＝ 2 （ － 1 ， 2 ） ＋ 3 （ 2 ， 1 ） ＝ （ － 2 ， 4 ） ＋ （ 6 ， 3 ） ＝ （ 4 ， 7 ） . （ 2 ） a － 3 b ＝ （ － 1 ， 2 ） － 3 （ 2 ， 1 ） ＝ （ － 1 ， 2 ） － （ 6 ， 3 ） ＝ （ － 7 ， － 1 ） . （ 3 ） a － b ＝ （ － 1 ， 2 ） － （ 2 ， 1 ） ＝（ － ， 1 ） － （ ， ）＝（ － ， ） . 通性通法 平面向量坐标运算的技巧 （ 1 ）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系； （ 2 ）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算； （ 3 ）在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用 . 1. 已知向量 a ＝ （ 5 ， 2 ）， b ＝ （－ 4 ，－ 3 ），若 c 满足 3 a － 2 b ＋ c ＝ 0 ，则 c ＝ （ 　　 ） A. （－ 23 ，－ 12 ） B. （ 23 ， 12 ） C. （ 7 ， 0 ） D. （－ 7 ， 0 ） 解析： A 　 ∵ a ＝ （ 5 ， 2 ）， b ＝ （ － 4 ， － 3 ），且 c 满足 3 a － 2 b ＋ c ＝ 0 ， ∴ c ＝ 2 b － 3 a ＝ 2 （ － 4 ， － 3 ） － 3 （ 5 ， 2 ） ＝ （ － 8 － 15 ， － 6 － 6 ） ＝ （ － 23 ， － 12 ） . 2. 已知 A （－ 2 ， 4 ）， B （ 3 ，－ 1 ）， C （－ 3 ，－ 4 ），且 ＝3 ， ＝2 ，求 M ， N 及 的坐标 . 解： 由 A （ － 2 ， 4 ）， B （ 3 ， － 1 ）， C （ － 3 ， － 4 ），可得 ＝ （ － 2 ， 4 ） － （ － 3 ， － 4 ） ＝ （ 1 ， 8 ）， ＝ （ 3 ， － 1 ） － （ － 3 ， － 4 ） ＝ （ 6 ， 3 ）， 所以 ＝3 ＝3 （ 1 ， 8 ） ＝ （ 3 ， 24 ）， ＝2 ＝ 2 （ 6 ， 3 ） ＝ （ 12 ， 6 ） . 设 M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ），则 ＝ （ x 1 ＋ 3 ， y 1 ＋ 4 ） ＝ （ 3 ， 24 ），解得 x 1 ＝ 0 ， y 1 ＝ 20 ； ＝ （ x 2 ＋ 3 ， y 2 ＋ 4 ） ＝ （ 12 ， 6 ），解得 x 2 ＝ 9 ， y 2 ＝ 2 ， 所以 M （ 0 ， 20 ）， N （ 9 ， 2 ）， ＝ （ 9 ， 2 ） － （ 0 ， 20 ） ＝ （ 9 ， － 1