数学归纳法
在数列的学习过程中,我们已经用归纳的方法得出了一些结论,例如等差数列{an}的通项公式an = a1 +(n-1)d等,但并没有给出严格的数学证明.那么,对于这类与正整数n有关的命题,我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢?本节我们就来介绍一种重要的证明方法—数学归纳法. 我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，培养学生的逻辑推理1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
合作探究思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.思考2：你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言描述它？条件(2)实际上是给出了一个递推关系.数学语言：第k块骨牌倒下 结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有的骨牌都能倒下.
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尝试与发现
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．1.数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．n＝k＋1 这种证明方法称为数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
尝试与发现
2．数学归纳法的框图表示
×√×2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3C
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.用数学归纳法证明命题时，应关注以下三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
“归纳—猜想—证明”的一般环节
1. 数学归纳法2.用数学归纳法证明3.数学归纳法中的放缩法证明不等式2、数学归纳法证明时从第k项到第k+1项，左边加了哪些项1、数学归纳法证明时首项的验证放缩法证明不等式注意放缩的程度，不能太大也不能太小。1.逻辑推理：数学归纳法证明.2.数学运算：放缩法证明不等式核心知识方法总结易错提醒核心素养
n=1成立时,左边计算所得的项是( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:CC
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.答案:CC
∴当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想. 所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
8.数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,
2023-2024学年北师大版选择性高中数学必修第二册 数学归纳法 课件
