1基础落实·必备知识全过关2重难探究·能力素养全提升
课程标准1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
01基础落实·必备知识全过关
知识点 正切函数的图象与性质解析式图象定义域值域周期奇偶性奇函数对称中心单调性
过关自诊1.正切曲线是中心对称图形吗？若是,对称中心是什么？是轴对称图形吗？提示正切曲线是中心对称图形,对称中心为,不是轴对称图形. 2.正切函数的图象与直线,有公共点吗？ 提示没有.正切曲线是由被互相平行的直线隔开的无穷多支曲线组成的.
3.函数的最小正周期为() CA.B.C.D. [解析]根据正切函数的周期公式计算得最小正周期. 4.的解集为() DA.,B.,C.D., [解析]由的图象知（图略）,当时,,.故选D.
02重难探究·能力素养全提升
探究点一 正切函数的定义域与值域问题【例1】 求下列函数的定义域和值域:（1）; 解依题意得,,所以,，所以函数的定义域是.由正切函数的值域可知该函数的值域是.
（2）. 依题意,所以.结合的图象（图略）可知,在区间上,满足的角应满足,所以函数的定义域为,,其值域为.
规律方法（1）求正切函数定义域的方法及注意点:求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数有意义,即,.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.
（2）解形如的不等式的步骤:
变式训练1求函数的定义域. 解依题意有,所以.所以,.又,,故函数定义域为.
探究点二 正切函数的单调性及其应用角度1.求正切函数的单调区间【例2】求函数的单调区间. 解.由，得,,所以函数的单调递减区间是,无单调递增区间.
规律方法的单调区间的求法是把看成一个整体,解,即可.当时,先用诱导公式把化为正值,再求单调区间.
变式训练2函数的单调递减区间为__________________________. <m></m> [解析].由,得,函数的单调递减区间为.
角度2.比较大小【例3】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.（1）与; 解,.因为,在上单调递增,所以,即.
（2）与. ,.因为,在上单调递增,所以,所以,即. 规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; （2）运用单调性比较大小关系.
变式训练3比较下列两个数的大小（用“”或“”填空）: ①___； <m></m> [解析],且,又在上单调递增,所以,即. ②___. <m></m> [解析],,因为,又在上单调递增,所以,则.
探究点三 正切函数的周期性与奇偶性【例4】（1）求函数的最小正周期; 解由题可知,故函数的最小正周期为. （2）已知函数,若,求的值. 令,则.因为,,所以是奇函数.因为,所以,则,故.
规律方法与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性:（1）一般地,函数的最小正周期为,常利用此公式来求与正切函数有关的周期.（2）函数是奇函数,其图象关于原点对称.若函数是奇函数,则.
变式训练4（1）函数() AA.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数[解析]要使有意义,必须满足即且,所以函数的定义域关于原点对称.又,故是奇函数. （2）若函数的最小正周期是,则____. <m></m> [解析]依题意有,即,所以.
探究点四 正切函数图象与性质的综合应用【例5】设函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称中心; 解,的最小正周期.令,得,的图象的对称中心是.
（2）作出函数在一个最小正周期内的简图. 令,则;令,则;令,则，函数的图象与轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐 近线方程分别是,,从而得到函数在一个最小正周期内的简图（如图）.
规律方法熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键,正切曲线是被相互平行的直线,隔开的无穷多支曲线组成的,的图象的对称中心为,.
变式训练5[2023山东邹城期末]已知函数. （1）求的定义域和最小正周期； 解对于函数,应有,,解得,,所以函数的定义域为,函数的最小正周期为. （2）求的单调区间. 令,,则,,所以函数的单调递减区间为,,没有单调递增区间.
2023-2024学年人教A版高中数学必修第一册 5.4.3正切函数的性质与图象 课件
