1.4.2 充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明.
教材知识梳理一如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有_____,又有_____,就记作______,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为______条件.二如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为______条件.p⇒qq⇒pp⇔q充要充要
三“⇔”的传递性若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p⇔q,q⇔s,则有_____,即p是s的充要条件.【质疑辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立. ( )(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题. ( )(3)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要条件. ( )(4)四边形是正方形的充要条件是其对角线互相垂直平分. ( )p⇔s√√√×
教材典题变式【例1】(源于P21例3)下列p是q的充要条件的是( )A.p:a>b,q:ac>bc B.p:x=0或x=1,q:x2-x=0C.p:x>1且y>1,q:x+y>2且xy>1 D.p:0<x<3,q:|x-1|<2 【答案】B【详解】对于A选项,若c=0时不满足,故不符合;对于选项B,x2-x=0,解得x=0或x=1,符合题意;对于选项C,x>1且y>1可以得到x+y>2且xy>1;而x+y>2且xy>1不能得到x>1且y>1.故p是q的充分不必要条件,不符合题意;对于选项D, 0<x<3可以得到|x-1|<2,由|x-1|<2得-1<x<3 不能得到0<x<3.故p是q的充分不必要条件,不符合题意.
【例2】(源于P22例4)设a,b,c∈R,求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=0.【证明】充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1;必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=0.
教材拓展延伸【例3】已知p是q的充分条件,q是r的必要条件,也是s的充分条件,r是s的必要条件,问:(1)p是r的什么条件?(2)s是q的什么条件?(3)p,q,r,s中哪几对互为充要条件?【证明】作出“⇒”图,如图所示,可知:p⇒q,r⇒q,q⇒s,s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r,且r⇒q,q能否推出p未知,所以p是r的充分条件.(2)因为s⇒r⇒q,q⇒s,所以s是q的充要条件.(3)共有三对充要条件,q⇔s;s⇔r;r⇔q.
【归纳总结】充分条件,必要条件都可以转化为用“箭头”语言描述,这样可以更形象直观地刻画充分性与必要性.【例4】设A={x|-1<x<3},B={x|-1<x<m+1,x∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是 . 【答案】 {m|m>2}【详解】因为A={x|-1<x<3},x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+1>3,即{m|m>2}.
【归纳总结】应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)先将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
【例5】已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.【详解】方程x2+(2k-1)x+k2=0,则方程有两个大于1的实数根x1,x2:⇔⇔⇔⇔k<-2.所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<-2.
本课结束
2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 1.4.2 充要条件 (课件)
