2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3　第一课时　余弦定理（学案）

6.4.3 　 余弦定理、正弦定理 新课程标准解读 核心素养 1. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理 2. 掌握余弦定理、正弦定理 数学运算 3. 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 数学建模 第一课时 　 余弦定理 　　 利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角 . 问题 　 例如，如图所示， A ， B 分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点 C ，然后使用测量仪得出 AC ， BC 以及 ∠ ACB 的大小 . 你能根据这三个量求出 AB 的距离吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边 　平方的和　 减去这两边与它们夹角的余弦的 　积的两倍　 公式 表达 a 2 ＝ 　 b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A 　 ， b 2 ＝ 　 c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B 　 ， c 2 ＝ 　 a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C 　 推论 cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ 知识点二　解三角形 一般地，三角形的三个角 A ， B ， C 和它们的对边 a ， b ， c 叫做三角形的 　元素　 . 已知三角形的几个元素求 　其他元素　 的过程叫做解三角形 . 1. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ b 2 ＜ c 2 ，则 △ ABC 是（ 　　 ） A. 等腰三角形 　　　　　　 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 解析： D 　 因为 a 2 ＋ b 2 ＜ c 2 ，由余弦定理可得 cos C ＝ ＜ 0 ，又由 C ∈ （ 0 ， π ），所以 C ∈ （ ， π ） ，所以 △ ABC 是钝角三角形 . 故选 D. 2. 在 △ ABC 中，已知 a ＝ 9 ， b ＝ 2 ， C ＝ 150 ° ，则 c ＝ （ 　　 ） A. B.8 C.10 D.7 解析： D 　 由余弦定理得： c ＝ ＝ ＝ 7 . 故选 D. 3. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 a ＝ 1 ， b ＝ ， c ＝ ，则 B ＝ 　 　　　　 .   解析： 由余弦定理的推论，得 cos B ＝ ＝ ＝ － . 又 0 ° ＜ B ＜ 180 ° ， ∴ B ＝ 150 ° . 答案： 150 ° 题型一 已知两边及一角解三角形 【例 1 】 　 （ 1 ）在 △ ABC 中，已知 b ＝ 60 cm ， c ＝ 60 cm ， A ＝ ，则 a ＝ 　 　　　　 cm ；   （ 2 ）在 △ ABC 中，若 AB ＝ ， AC ＝ 5 ，且 cos C ＝ ，则 BC ＝ 　 　　　　 .   解析 　 （ 1 ）由余弦定理得： a ＝ ＝ ＝ 60 （ cm ） . （ 2 ）由余弦定理得：（ ） 2 ＝ 5 2 ＋ BC 2 － 2 × 5 × BC × ，所以 BC 2 － 9 BC ＋ 20 ＝ 0 ，解得 BC ＝ 4 或 5. 答案 　 （ 1 ） 60 　 （ 2 ） 4 或 5 通性通法 已知两边及一角解三角形的两种情况 （ 1 ）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解； （ 2 ）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角 和定理求其他角 . 1. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， cos （ A ＋ B ） ＝ ，则 c ＝ （ 　　 ） A.4 　　　　　　　　　　 B. C.3 D. 解析： D 　 cos C ＝ － cos （ A ＋ B ） ＝ － . 又由余弦定理得 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ＝ 9 ＋ 4 － 2 × 3 × 2 × （ － ）＝ 17 ，所以 c ＝ . 故选 D. 2. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 b ＝ 50 ， c ＝ 150 ， B ＝ 30 ° ，则 a ＝ 　 　　　　 .   解析： 在 △ ABC 中， b ＝ 50 ， c ＝ 150 ， B ＝ 30 ° ，由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ，（ 50 ） 2 ＝ a 2 ＋ 150 2 － 2 × 150 × a ， a 2 － 150 a ＋ 15 000 ＝ 0 ，（ a － 100 ）（ a － 50 ） ＝ 0 ，解得 a ＝ 100 或 a ＝ 50 . 答案： 100 或 50 题型二 已知三角形的三边解三角形 【例 2 】 　 在 △ ABC 中，已知 a ＝ 2 ， b ＝ 6 ＋ 2 ， c ＝ 4 ，求 A ， B ， C 的大小 . 解 　 由余弦定理的推论，得 cos A ＝ ＝ ＝ . ∵ A ∈ （ 0 ， π ）， ∴ A ＝ ， cos C ＝ ＝ ＝ ， ∵ C ∈ （ 0 ， π ）， ∴ C ＝ . ∴ B ＝ π － A － C ＝ π － － ＝ ， ∴ A ＝ ， B ＝ ， C ＝ . 通性通法 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角 . 1. 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若 a 2 － b 2 ＝ c 2 － bc ，则 A ＝ （ 　　 ） A.135 ° B.60 ° 或 120 ° C.45 ° D.135 ° 或 45 ° 解析： C 　 a 2 － b 2 ＝ c 2 － bc ，由余弦定理的推论得 cos A ＝ ＝ ，故 A ＝ 45 ° . 故选 C. 2. 在 △ ABC 中，已知 a ∶ b ∶ c ＝ 2 ∶ ∶ （ ＋ 1 ），求各内角的度数 . 解： 由 a ∶ b ∶ c ＝ 2 ∶ ∶ （ ＋ 1 ），令 a ＝ 2 k ， b ＝ k ， c ＝ （ ＋ 1 ） k （ k ＞ 0 ） . 由余弦定理的推论，得 cos A ＝ ＝ ＝ ， ∴ A ＝ 45 ° . cos B ＝ ＝ ＝ ，