4
.
2
等差数列
4.2.1
等差数列的概念
4.2.1
第
1
课
时 等差数列的概念
素养目标
·
定方向
学习目标
核心素养
借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念
数学抽象
借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系
数学抽象
会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题
逻辑推理
必备知识
·
探新知
知识点
1
等差数列的定义
一般地，如果一个数列
__
从第
2
项
__
起，每一项与
__
它的前一项
__
的差都等于
__
同一个常数
__
，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的
__
公差
__
，公差通常用字母
d
表示．
想一想：
对等差数列的理解，有哪些问题需要注意？
提示：
1.
“
从第
2
项起
”
因为首项没有
“
前一项
”
；
2
．一个数列从第
2
项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调
“
同一个常数
”
，注意不要漏掉这一条件．
3
．
求公差
d
时，可以用
d
＝
a
n
－
a
n
－
1
(
n
≥
2)
来求，也可以用
d
＝
a
n
＋
1
－
a
n
来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用
d
＝
a
n
－
a
n
－
1
求公差时，要求
n
≥
2
，
n
∈
N
*
.
练一练：
判断下列数列是否为等差数列，如果不是，请说明理由．
(1)1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
…
；
(2)2
，－
2
，
2
，－
2
，
2
，－
2
，
…
；
(3)1
，
1
，
1
，
1
，
…
；
(4)6
，
5
，
3
，
1
，－
1
，－
3
，
…
.
[
解析
]
(1)
该数列从第
2
项起，每一项与它的
前一项的差等于同一个常数
2
，所以是等差数列．
(2)
－
2
－
2
＝－
4
，
2
－
(
－
2)
＝
4
，相邻两项的差不是同一个常数，所以该数列不是等差数列．
(3)
该数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
0
，所以是等差数列．
(4)
因为
5
－
6
＝－
1
，而从第
3
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－
2
，所以该数列不是等差数列，但可以说从第
2
项起是等差数列．
知识点
2
等差中项
由三个数
a
，
A
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时
，
A
叫做
a
与
b
的等差中项．
事实上，若
a
，
A
，
b
成等差数列，则
A
＝
，且
A
是
a
与
b
的等差中项；若
A
＝
，即
A
－
a
＝
b
－
A
，则
a
，
A
，
b
成等差数列．
想一想：
“
数列
{
a
n
}
是等差数列
”
与
“
2
a
n
＝
a
n
－
1
＋
a
n
＋
1
(
n
≥
2
，
n
∈
N
＋
)
”
之间是什么关系？
提示：
等价关系．
练一练：
已知实数
a
＝
2
，
b
＝
8
，则
a
，
b
的等差中项为
__
5
__
．
知识点
3
等差数列的通项公式
递推公式
通项公式
__
a
n
＋
1
－
a
n
__
＝
d
(
n
∈
N
*
)
a
n
＝
__
a
1
＋
(
n
－
1)
d
__(
n
∈
N
*
)
想一想：
等差数列的通项公式有怎样的内涵？
提示：
(1)
由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．
(2)
等差数列的通项公式中涉及
a
n
，
a
1
，
d
，
n
四个量，知道其中三个量可以求出第四个量．
练一练：
已知
{
a
n
}
是等差数列，首项
a
1
＝－
1
，公差
d
＝－
3
，则
a
8
＝
__
－
22
__
．
知识点
4
等差数列与一次函数的关系
由于
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
＝
dn
＋
(
a
1
－
d
)
，所以当
d
≠
0
时，等差数列
{
a
n
}
的第
n
项
a
n
是一次函数
f
(
x
)
＝
dx
＋
(
a
1
－
d
)(
x
∈
R
)
当
x
＝
n
时的函数值，即
a
n
＝
f
(
n
)
．
想一想：
等差数列与一次函数有怎样的联系与区别？
提示：
等差数列
一次函数
解析式
a
n
＝
kn
＋
b
(
k
≠0
，
n
∈
N
*
)
f
(
x
)
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
不同点
定义域为
N
*
，图
象是一系列孤立的点
(
在直线
f
(
x
)
＝
kx
＋
b
上
)
定义域为
R
，图象是一条直线
相同点
等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，等差数列的图象
是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点
练一练：
已知点
(1
，
5)
，
(2
，
3)
是等差数列
{
a
n
}
图象上的两点，则数列
{
a
n
}
为
(
B
)
A
．递增数列
B
．递减数列
C
．常数列
D
．无法确定
[
解析
]
等差数列
{
a
n
}
的图象所在直线的斜率
k
＝
＝－
2<0
，故数列
{
a
n
}
是递减数列．
关键能力
·
攻重难
题型探究
题型一
等差数列的通项公式
典例
1
(1)2
020
是等差数列
4
，
6
，
8
，
…
的
(
B
)
A
．第
1008
项
B
．第
1009
项
C
．第
1010
项
D
．第
1011
项
(2)
已知等差数列
1
，－
3
，－
7
，－
11
，
…
，求它的通项公式及第
20
项．
[
分析
]
(1)4
，
6
，
8
⇒
公差
⇒
通项公式
⇒
解方程得
n
.
(2)
首项
1
与第二项－
3
⇒
公差
⇒
通项公式
⇒
第
20
项．
[
解析
]
(1)
数列
4
，
6
，
8
，
…
的通项公式为
a
n
＝
2
n
＋
2.
则
2
n
＋
2
＝
2020.
解得
n
＝
1009.
(2)
由题意可知
a
1
＝
1
，
a
2
＝－
3
，所以公差
d
＝
a
2
－
a
1
＝－
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 4.2.1第1课时 等差数列的概念 学案
