2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第三章 3.4　函数的应用(一) 学案

3.4 　函数的应用 ( 一 ) 学习目标 　 1 . 会利用已知函数模型解决实际问题 . 2 . 能利用分段函数模型解决实际问题 . 教材知识梳理 一 常见的函数模型 常 用 函 数 模 型 (1) 一次函数模型 y = kx + b ( k , b 为常数 , k ≠0) (2) 二次函数模型 y = ax 2 + bx + c ( a , b , c 为常数 , a ≠0) (3) 幂型函数模型 y = ax n + b ( a , b 为常数 , a ≠0) (4) 分段函数 　　 y = 二 解决函数应用问题的步骤 　 利用函数知识和函数观点解决实际问题时 , 一般按以下几个步骤进行 : (1) 审题 ;(2) 建模 ;(3) 求模 ;(4) 还原 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) 　 (1) 当 x 每增加一个单位时 , y 增加或减少的量为定值 , 则 y 是 x 的一次函数 . ( 　 √ 　 ) (2) 对于自变量在不同范围内 , 对应关系不同的函数关系一般可以用分段函 数表示 . ( 　 √ 　 ) (3) 一个好的函数模型 , 既能与现有数据高度符合 , 又能很好地推演和预测 . ( 　 √ 　 ) (4) 用函数模型预测的结果和实际结果必须相等 , 否则函数模型就无存在意义了 . ( 　 × 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P93 例 1) 为了保护水资源 , 提倡节约用水 , 某城市对居民生活用水实行 “ 阶梯水价 ” . 计费方法如表 : 每户每月用水量 水价 不超过 12 m 3 3 元 / m 3 超过 12 m 3 但不超过 18 m 3 的部分 6 元 / m 3 超过 18 m 3 的部分 9 元 / m 3 若某户居民本月缴纳的水费为 48 元 , 求此户居民本月用水量 . 【详解】设此户居民本月用水量为 x , 当 0< x ≤12 时 ,3 x =48, 解得 x =16, 不满足题意 ; 当 12< x ≤18 时 ,3×12+6×( x -12)=48, 解得 x =14, 满足题意 ; 当 x >18 时 ,3×12+6×6+9×( x -18)=48, 解得 x = , 不满足题意 , 综上所述 , 此户居民本月用水量为 14 m 3 . 【例 2 】 ( 源于 P94 例 2) 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用 , 管理这些自行车的费用是每日 115 元 . 根据经验 , 若每辆自行车的日租金不超过 6 元 , 则自行车可以全部租出 ; 若超过 6 元 , 则每提高 1 元 , 租不出去的自行车就增加 3 辆 . 旅游点规定 : 每辆自行车的日租金不低于 3 元并且不超过 20 元 , 每辆自行车的日租金 x 元只取整数 , 用 y 表示出租所有自行车的日净收入 . ( 日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得 ) (1) 求函数 y = f ( x ) 的解析式 ; (2) 试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元 ? 日净收入最多为多少元 ? 【详解】 (1) 由题知 : 当 x ≤6 时 , f ( x )=50 x -115, 令 50 x -115>0, 解得 x >2 . 3, 因为 x ∈ N, 所以 3≤ x ≤6, x ∈ N . 当 6< x ≤20 时 , f ( x )=[50-3( x -6)] x -115=-3 x 2 +68 x -115,6< x ≤20, x ∈ N . 所以 f ( x )= . (2) 当 3≤ x ≤6, 且 x ∈ N 时 , f ( x )=50 x -115 单调递增 , 所以 f ( x ) max = f (6)=185 元 . 当 6< x ≤20, 且 x ∈ N 时 , f ( x )=-3 x 2 +68 x -115=-3 ( x - ) 2 + , 当 x =11 时 , f ( x ) max =270 元 . 综上所述 , 当每辆自行车日租金定为 11 元时 , 日净收入最多 , 为 270 元 . 教材拓展延伸 【例 3 】某地区上年度电价为 0 . 8 元 / kW·h, 年用电量为 a kW·h . 本年度计划将电价降低到 0 . 55 元 / kW·h 至 0 . 75 元 / kW·h 之间 , 而用户期望电价为 0 . 4 元 / kW·h . 经测算 , 下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 ( 比例系数为 k ) . 该地区电力的成本价为 0 . 3 元 / kW·h . (1) 写出本年度电价下调后 , 电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数解析式 ; (2) 设 k =0 . 2 a , 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长 20%? 【详解】 (1) 设下调后的电价为 x 元 / kW·h, 依题意知 , 用电量增至 ( + a ) kW·h, 电力部门的收益为 y = ( + a ) ( x -0 . 3)(0 . 55≤ x ≤0 . 75), 所以电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数解析式是 y = ( + a ) ( x -0 . 3)(0 . 55≤ x ≤0 . 75) . (2) 依题意 , , 化简整理得 : , 解此不等式组得 :0 . 60≤ x ≤0 . 75, 所以当电价最低定为 0 . 60 元 / kW·h 时 , 仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长 20% . 【例 4 】如图 , 有一块半径为 R ( 单位 :cm) 的半圆形钢板 , 计划裁剪成等腰梯形 ABCD 的形状 , 它的下底 AB 是半圆的直径 , 上底 CD 的端点在圆周上 . (1) 写出梯形的周长 y ( 单位 :cm) 和腰长 x ( 单位 :cm) 之间的函数解析式 ; (2) 求梯形周长的最大值 . 【详解】 (1) 作 DE ⊥ AB 于点 E , 连接 BD , 因为 AB 是半圆的直径 , 所以 ∠ ADB = , 易知 △ ADB ∽△ AED , 所以 = , 所以 AE = = , 又因为 AD = x cm, AB =2 R cm, AE = cm, 所以 CD = AB -2 AE = ( 2 R - ) cm, 所以 y = AB + DA + DC + BC =2 R + x + ( 2 R - ) + x =- x 2 +2 x +4 R , 因为 x >0, CD =2 R - >0, 所以 0< x < R , 所以 y =- x 2 +2 x +4 R (0< x < R ) . (2) 因为 y =- x 2 +2 x +4 R =- ( x - R ) 2 +5 R ,0< x < R , 所以当 x = R cm 时 , y 有最大值 , 且最大值为 5 R cm,