2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 第四章数列 章末整合提升 学案

第四章数列 章末整合提升 知识体系构建 数列 数列 数列 要点专项突破 要点一 由递推公式求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前 n 项和，所以求数列的通项往往是解题的突破口和关 键点． 典例 1 　 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ，且 a n ＋ 1 － a n ＝ 3 n － n ，求数列 { a n } 的通项公式． [ 解析 ] 　 由 a n ＋ 1 － a n ＝ 3 n － n ， 得 a n － a n － 1 ＝ 3 n － 1 － ( n － 1) ， a n － 1 － a n － 2 ＝ 3 n － 2 － ( n － 2) ， …… a 3 － a 2 ＝ 3 2 － 2 ， a 2 － a 1 ＝ 3 － 1. 当 n ≥ 2 时，以上 n － 1 个等式两端分别相加，得 ( a n － a n － 1 ) ＋ ( a n － 1 － a n － 2 ) ＋ … ＋ ( a 2 － a 1 ) ＝ 3 n － 1 ＋ 3 n － 2 ＋ … ＋ 3 － [( n － 1) ＋ ( n － 2) ＋ … ＋ 2 ＋ 1] ， 即 a n － a 1 ＝ － . 又 a 1 ＝ 1 ， ∴ a n ＝ × 3 n － － . 显然 a 1 ＝ 1 也适合上式， ∴ { a n } 的通项公式为 a n ＝ × 3 n － － . [ 规律方法 ] 　 因为 a n ＝ ( a n － a n － 1 ) ＋ ( a n － 1 － a n － 2 ) ＋ … ＋ ( a 3 － a 2 ) ＋ ( a 2 － a 1 ) ＋ a 1 ，所以形如 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) 型递推关系式求通项 a n . 设 b n ＝ f ( n ) ，若 { b n } 可求和 ，则用累加法求解． (1) 若 f ( n ) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和． (2) 若 f ( n ) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和． (3) 若 f ( n ) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 . 典例 2 　 在数列 { a n } 中 ， a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ， 求通项 a n . [ 分析 ] 　 条件式可变形为 ＝ ，当 n 变化时，除 2 倍外，后一项的分子都是前一项的分母，逐项相乘可以消去，故用累乘法求解． [ 解析 ] 　 ∵ a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ， ∴ ＝ ， ＝ ， … ＝ ， 以上 n － 1 个等式左右两边分别相乘得 ＝ n ·2 n － 1 ， 即 a n ＝ n ·2 n ， 且 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 也适合上式， ∴ a n ＝ n ·2 n . [ 规律方法 ] 　 若数列 { a n } 满足 ＝ f ( n )( n ∈ N * ) ，其中数列 { f ( n )} 前 n 项积可求，则可用累乘法求 a n . 典例 3 　 (1) 已知数列 { a n } 满足： a 1 ＝ 2 ， a n ＝ ( n ≥ 2) ， 求 a n ； (2) 已知数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ( n ∈ N * ) ， a 1 ＝ 1 ， 求通项公式 a n . [ 解析 ] 　 (1) 由 a n ＝ 两边取倒数得 － ＝ 1 ， ∴ 数列 是首项为 ＝ ，公差为 1 的等差数列． ∴ ＝ ＋ ( n － 1) ＝ n － ＝ . ∴ a n ＝ . (2) ∵ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ． 又 a 1 ＋ 1 ＝ 2 ≠ 0 ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是首项为 2 ，公比为 3 的等比数列． ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·3 n － 1 . ∴ a n ＝ 2·3 n － 1 － 1. [ 规律方法 ] 　 一般地，若给出的数列递推关系式是 a n 与 a n ＋ 1 的关系式，通过适当变形，能够变形为 a n ＋ 1 ＋ f ( n ) 与 a n ＋ f ( n ) 的关系 ( 这里 f ( n ) 一般为常数或 n 的一次式、指数式 ) ．或变形为 与 的关系式等，可用换元转化法求解．形如 a n ＋ 1 ＝ ka n ＋ m 的递推关系一定可变形为 a n ＋ 1 ＋ p ＝ k ( a n ＋ p ) 的形式令 b n ＝ a n ＋ p ，则 b n ＋ 1 ＝ kb n 即可用等比数列 { b n } 求解． 要点二 等差 ( 等比 ) 数列的判定或证明 典例 4 　 (2021· 全国乙卷理 ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， b n 为数列 { S n } 的前 n 项积，已知 ＋ ＝ 2. (1) 证明：数列 { b n } 是等差数列； (2) 求 { a n } 的通项公式． [ 解析 ] 　 (1) 由已知 ＋ ＝ 2 得 S n ＝ ，且 b n ≠ 0 ， b n ≠ ， 取 n ＝ 1 ，由 S 1 ＝ b 1 得 b 1 ＝ ， 由于 b n 为数列 { S n } 的前 n 项积， 所以 · … ＝ b n ， 所以 · … ＝ b n ＋ 1 ， 所以 ＝ ， 由于 b n ＋ 1 ≠ 0 所以 ＝ ，即 b n ＋ 1 － b n ＝ ，其中 n ∈ N * 所以数列 { b n } 是以 b 1 ＝ 为首项，以 d ＝ 为公差的等差数列． (2) 由 (1) 可得，数列 { b n } 是以 b 1 ＝ 为首项，以 d ＝ 为公差的等差数列， ∴ b n ＝ ＋ ( n － 1) × ＝ 1 ＋ ， S n ＝ ＝ ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ － ＝－ ，显 然对于 n ＝ 1 不成立， ∴ a n ＝ . [ 规律方法 ] 　 已知某条件式，证明关于 a n ( 或 S n ) 的某个表达式成等差 ( 或等比 ) 数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差 ( 等比 ) 数列定义，结合 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) 对条件式变形构造新数列求解． 要点三 等差、等比数列的性质 典例 5 　 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ，满足 S n ＝ a ( S n － a n ＋ 1)( a 为常数，且 a >0) ，且 4 a 3 是 a 1 与 2 a 2 的等差中项． (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . [ 解析 ]