8
.
6.3
平面与平面垂直
课程标准
1.
了解二面角及其平面角的概念．
2
．掌握两个平面互相垂直的定义和画法．
3
．理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．
新知
初探·课前预习
——
突出基础性
教
材
要
点
要点一 二面角
二面角的定义
从一条直线出发的
______________
所组成的图形叫做二面角
❶
二面角的
相关概念
这条直线叫做二面角的
________
，这两个半平面叫做二面角的面
二面角的画法
二面角的记法
二面角
α
l
β
或
α
AB
β
或
P
l
Q
或
P
AB
Q
二面角的
平面角
定义
在二面角
α
l
β
的棱
l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足，
在半平面
α
和
β
内分别作
________
于棱
l
的射线
OA
和
OB
，则射线
OA
和
OB
构成的
∠
AOB
叫做二面角的平面角
❷
图形
范围
∠
AOB
的范围是
________
要点二 平
面与平面垂直及判定定理
定义
如果两个平面相交，且它们所成的二面角是
________
，就说这两个平面互相垂直，记作：
________
画法
通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：
判定定理
❸
文
字表述：一个平面过另一个平面的
________
，则这两个平面垂直．
符号表示：
l
⊥
α
，
________⇒
α
⊥
β
要点三 平面与平面垂直的性质定理
❹
文字语言
两个平面垂直，如果
________
有一直线垂直于这两个平面的
________
，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
图形语言
助
学
批
注
批注
❶
(1)
二
面角是一个几何图形，而不是真正意义的角．
(2)
二面角的大小通过其平面角来度量．
批注
❷
二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
批注
❸
(1)
判定定理可以简述为
“
线面垂直，则面面垂直
”
．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直．
(2)
两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据．
批注
❹
(1)
定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)
已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
夯
实
双
基
1
．判断正误
(
正确的画
“√”
，错误的画
“×”
)
(1)
若
l
⊥
α
，则过
l
有无数个平面与
α
垂直．
(
)
(2)
二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．
(
)
(3)
二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．
(
)
(4)
如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．
(
)
2
．已知
m
，
n
是两条不同的直线，
α
，
β
是两个不同的平面，且满足
m
⊥
α
，
m
∥
β
，则下列说法一定正确的是
(
)
A
．
α
⊥
β
B
．
α
∥
β
C.
若
n
⊂
β
，
则
m
∥
n
D
．若
n
⊂
α
，
则
n
⊥
β
3
．已知
m
，
n
，
l
是直线，
α
，
β
是平面，
α
⊥
β
，
α
∩
β
＝
l
，
n
⊂
β
，
n
⊥
l
，
m
⊥
α
，
则直线
m
与
n
的位置关系是
(
)
A.
异面
B
．相交但不垂直
C.
平行
D
．相交且垂直
4
．
如图，
P
是二面角
α
l
β
内的一点，
PA
⊥
α
，
PB
⊥
β
，垂足分别为
A
，
B
.
若
∠
APB
＝
80°
，则二面角
α
l
β
的大小为
________
．
题型探究
·
课堂解透
——
强化创新性
题型
1
求二面角
例
1
如图，
AB
是
⊙
O
的直径，
PA
垂直于
⊙
O
所在的平面，
C
是圆周上的一点，且
PA
＝
AC
，求二面角
P
BC
A
的大小．
题后师说
求
二面角大小的步骤
巩固训练
1
如图，在正方体
ABCD
A
′
B
′
C
′
D
′
中：
(1)
二面角
D
′
AB
D
的大小为
________
．
(2)
二面角
A
′
AB
D
的大小为
________
．
题型
2
平面与
平面垂直的判定
例
2
[2022·
广东肇庆高一期末
]
如图，在三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中，侧面
AA
1
C
1
C
为菱形，
∠
A
1
AC
＝
60°
，且
AB
⊥
AA
1
，
BC
1
⊥
A
1
C
.
求证：平面
ABC
⊥
平面
A
1
ACC
1
.
题后师说
证明面面垂直的常用方法
巩固训练
2
如图，在三棱锥
P
ABC
中，
PA
⊥
平面
ABC
，
△
ABC
是直角三角形，
AC
＝
BC
，
PA
＝
AB
.
D
，
E
分别是棱
PB
，
PC
的中点．
求证：平面
PAC
⊥
平面
ADE
.
题型
3
面面垂直性质定理的应用
例
3
[2022·
山东日照高一期末
]
已知斜三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
的侧面
ACC
1
A
1
与底面
ABC
垂直，侧棱
AA
1
与底面
ABC
所成的角为
30°
，
AA
1
⊥
A
1
C
，
AC
⊥
BC
.
求证：平面
ABB
1
A
1
⊥
平面
A
1
BC
.
题后师说
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：
(1)
两个平面垂直是前提条件；
(2)
直线必须在其中一个平面内；
(3)
直线必须垂直于它们的交线．
巩固训练
3
如图所示，四棱锥
V
－
ABCD
的底面是矩形，侧面
VAB
⊥
底面
ABCD
，又
VB
⊥
平面
VAD
.
求证：平面
VBC
⊥
平面
VAC
.
8
．
6.3
平面与平面垂直
新知
初探·课前预习
[
教材
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.6.3 平面与平面垂直 学案
