人教版五年级下册强基奥数讲义第5讲：用等量代换求面积

用等量代换求面积（五年级第 5 讲） 【内容简介】 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 【例 1 】 两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 【分析与解答】 阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同，都减去三角形 DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC 的面积。直角梯形 OEFC 的上底为 10-3=7 （厘米），面积为（ 7+10 ） ×2÷2=17 （ cm ² ）。 所以，阴影部分的面积是 17 平方厘米。 【小结】 有时候直接求阴影图形面积会缺少一些必要条件，这时候就可以寻找是否用相等的量去代替，这种数学思想就叫做等量代换。除以以外，还需要留意图形与图形之间的重叠部分。重叠的部分可以同时减去，达到图形转化的目的。在这题里面，我们就把 S△ABC ＝ S△DEF 转化为 S 阴＝ SCOEF 。 【例 2 】 在右图中，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的直角边 EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10cm ² ，求平行四边形 ABCD 的面积。 【 分析与解答】 因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，都加上梯形 FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 平方厘米。 所以平行四边形 ABCD 的面积等于 10×8÷2+10=50 （ cm2 ）。 【小结】 这道题用到了差不变的性质，把阴影部分的面积转化为了平行四边形的面积， △EFG 的面积转化为 △EBC 的面积。把原本是阴影部分和 △EFG 之间的关系转化为了平行四边形与 △EBC 的关系。 有时候单看一个图形缺少条件时，可以和其他图形组合起来看，像这题就把阴影部分和梯形 BCGF 组合起来转化为平行四边形。 【例 3 】 在右图中， AB=8 厘米， CD=4 厘米， BC=6 厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 平方厘米。求 ED 的长。 【分析与解答】 求 ED 的长，需求出 EC 的长；求 EC 的长，需求出直角三角形 ECB 的面积。因为三角形