2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（学案）

8.3.2 　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 新课程标准解读 核心素养 1. 知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象 2. 能用公式解决简单的实际问题 数学运算 　　 在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体 . 这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体 . 问题 　你会求上述几何体的表面积及体积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 图形 表面积和体积 圆柱 S 圆柱 ＝ 　 2π r （ r ＋ l ）　 （ r 是底面半径， l 是母线长 ）； V 圆柱 ＝ 　 π r 2 h 　 （ r 是底面半径， h 是高 ） 图形 表面积和体积 圆锥 S 圆锥 ＝ 　 π r （ r ＋ l ）　 （ r 是底面半径， l 是母线长 ）； V 圆锥 ＝ 　 π r 2 h 　 （ r 是底面半径， h 是高 ） 圆台 S 圆台 ＝ 　 π （ r' 2 ＋ r 2 ＋ r'l ＋ rl ）　 （ r' ， r 分别是上、下底面半径， l 是母线长） ； V 圆台 ＝ 　 π h （ r' 2 ＋ 　 　 r'r ＋ r 2 ）　 （ r' ， r 分别是上、下底面半径， h 是高 ） 提醒 　 圆柱、圆锥、圆台的关系 ： ① 侧面积公式间的关系， S 圆柱侧 ＝ 2π rl S 圆台侧 ＝ π （ r ＋ r' ） l S 圆锥侧 ＝ π rl ； ② 体积公式间的关系 V ＝ Sh V ＝ （ S' ＋ ＋ S ） h V ＝ Sh . 知识点二　球的表面积和体积公式 1. 球的表面积公式 S ＝ 　 4π R 2 　 （ R 为球的半径 ） . 2. 球的体积公式 V ＝ 　 π R 3 　 . 1. 一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π. 则该圆柱的表面积为 　　　　　 ，体积为 　　　　　 .   解析： 由底面周长为 2π 可得底面半径为 1. S 底 ＝ 2π r 2 ＝ 2π ， S 侧 ＝ 2π r · h ＝ 4π ，所以 S 表 ＝ S 底 ＋ S 侧 ＝ 6π. V ＝ π r 2 · h ＝ π × 1 2 × 2 ＝ 2π. 答案： 6π 　 2π 2. 若圆锥的底面半径为 ，高为 1 ，则圆锥的体积为 　　　　　 ，表面积为 　　　　　 .   解析： V ＝ Sh ＝ × π × 3 × 1 ＝ π. S ＝ π r （ r ＋ l ） ＝ π （ ＋ 2 ） ＝ （ 3 ＋ 2 ） π. 答案： π 　（ 3 ＋ 2 ） π 3. 直径为 1 的球的表面积为 　　　　　 ，体积为 　　　　　 .   解析： ∵ 球的直径为 1 ， ∴ 球的半径 r ＝ ， ∴ S 表 ＝ 4π r 2 ＝ 4π × （ ） 2 ＝ π ， V 球 ＝ π r 3 ＝ π × （ ） 3 ＝ . 答案： π 　 题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例 1 】 　（ 1 ）若圆锥的高为 3 ，底面半径为 4 ，则此圆锥的表面积为（　　） A.40π 　　　　　　　　　 B.36π C.26π D.20π （ 2 ）圆台的上、下底面半径分别为 10 cm ， 20 cm ，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为 π ，则圆台的表面积为 　　　　　 cm 2 . （结果中保留 π ）   解析　 （ 1 ）圆锥的母线长 l ＝ ＝ 5 ，所以圆锥的表面积为 π × 4 2 ＋ π × 4 × 5 ＝ 36π. （ 2 ）如图所示，设圆台的上底面周长为 l cm ，因为扇环的圆心角是 π ，所以 l ＝ π· SA ＝ 2π × 10 ，所以 SA ＝ 20 cm. 同理可得 SB ＝ 40 cm ，所以 AB ＝ SB － SA ＝ 20 cm ，所以表面积 S ＝ π （ 10 ＋ 20 ） × 20 ＋ π × 10 2 ＋ π × 20 2 ＝ 1 100π （ cm 2 ） . 答案　 （ 1 ） B 　（ 2 ） 1 100π 通性通法 　　 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （ 1 ）得到空间几何体的平面展开图； （ 2 ）依次求出各个平面图形的面积； （ 3 ）将各平面图形的面积相加 . 1. （多选） 如图，四边形 BCC 1 B 1 是圆柱的轴截面， AA 1 是圆柱的一条母线，已知 AB ＝ 4 ， AC ＝ 2 ， AA 1 ＝ 3 ，则下列说法正确的是（　　） A. 圆柱的侧面积为 2 π B. 圆柱的侧面积为 6 π C. 圆柱的表面积为 6 π ＋ 12π D. 圆柱的表面积为 2 π ＋ 6π 解析： BC 　 因为 AB ＝ 4 ， AC ＝ 2 ，所以 BC ＝ ＝ 2 ，即 r ＝ ，又因为 AA 1 ＝ 3 ，所以圆柱的侧面积是 2π rl ＝ 2π × × 3 ＝ 6 π ，圆柱的表面积是 2π rl ＋ 2π r 2 ＝ 6 π ＋ 12π. 故选 B 、 C. 2. 用一张 4 cm × 8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为 　　　　　 cm 2 .   解析： 有两种不同的卷法，分别如下： ① 以矩形 8 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为 r ，此时底面周长为 2π r ＝ 4 cm ，得 r ＝ cm ，则两底面面积之和为 cm 2 ，又 S 侧 ＝ 32 cm 2 ，故此时该圆柱的表面积为 （ 32 ＋ ） cm 2 . ② 以矩形 4 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为 r' ，此时底面周长为 2π r' ＝ 8 cm ，得 r' ＝ ，则两底面面积之和为 cm 2 ，又 S 侧 ＝ 32 cm 2 ，故此时该圆柱的表面积为 （ 32 ＋ ） cm 2 . 答案： 32 ＋ 或 32 ＋ 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 【例 2 】 　（ 1 ）已