2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.6.2 直线与平面垂直 学案

8 . 6.2 　直线与平面垂直 课程标准 1. 了解直线与平面垂直的定义． 2 ．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 3 ．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题． 4 ．能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　直线与平面垂直 定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条 ❶ 直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直 记法 l ⊥ α 有关概念 直线 l 叫做平面 α 的 ________ ，平面 α 叫做直线 l 的 ________ ．它们唯一的公共点 P 叫做 ________ 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 要点二　直线与平面垂直的判定定理 ❷ 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 ________ 都垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l ⊥ a ， l ⊥ b ， a ⊂ α ， b ⊂ α ， ________⇒ l ⊥ α 图形语言 要点三　直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面 α ________ ，但不和平面 α ________ ，图中直线 PA ❸ 斜足 斜线和平面的 ________ ，图中点 A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ________ ，过 ________ 和 ________ 的直线叫做斜线在这个平面内的射影 ❹ ， 图中斜线 PA 在平面 α 上的射影为 ________ 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ________ ；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 ________ 取值范围 [0° ， 90°] 要点四　直线与平面垂直的性质定理 ❺ 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 ________ 符号语言 图形语言 要点五　空间中的距离 1 ．点到平面的距离： 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段， ________ 的长度叫做这个点到该平面的距离． 2 ．直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行 时， 这条直线上 ________ 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3 ．两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 __________ 到另一个平面的距离都相等，把它叫做两个平行平面间的距离． 助 学 批 注 批注 ❶ 　定义中的 “ 任意一条 ” 与 “ 所有直线 ” 意义相同，但与 “ 无数条直线 ” 不同，即定义说明这条直线和平面内的所有直线都垂直． 批注 ❷ 　 (1) 定理中有三个条件：两个线线垂直和一个相交，三个条件缺一不可． (2) 要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两 条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的． 批注 ❸ 　斜线上不同于斜足的点 P 的选取是任意的． 批注 ❹ 　斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段． 批注 ❺ 　线面垂直性质定理的推论 (1) 垂直于同一条直线的两个平面平行． (2) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个． 夯 实 双 基 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则 l ⊥ α .( 　　 ) (2) 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线． ( 　　 ) (3) 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ( 　　 ) (4) 如果直线 l 与平面 α 所成的角为 60° ，且 m ⊂ α ， 则直线 l 与 m 所成的角也是 60°.( 　　 ) 2 ．下列说法中可以判断直线 l ⊥ 平面 α 的是 ( 　　 ) A. 直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直 B. 直线 l 与平面 α 内的两条直线垂直 C. 直线 l 与平面 α 内的两条相交直线垂直 D. 直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直 3 ．直线 n ⊥ 平面 α ， n ∥ l ，直线 m ⊂ α ， 则 l 、 m 的位置关系是 ( 　　 ) A. 相交　　 B ．异面 C ．平行　　 D ．垂直 4 ．在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，直线 AB 1 与平面 ABCD 所成的角等于 ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　直线与平面垂直的判定 例 1 　 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90° ， D 是 AC 的中点， S 是 △ ABC 所在平面外一点，且 SA ＝ SB ＝ SC . (1) 求证： SD ⊥ 平面 ABC ； (2) 若 AB ＝ BC ，求证： BD ⊥ 平面 SAC . 题后师说 证明线面垂直的方法 巩固训练 1 　 在正方体 中，求证： A 1 C ⊥ 平面 BC 1 D . 题型 2 　直线与平面垂直的性质定理 例 2 　如图，在四棱锥 P ­ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AB ⊥ 平面 PAD ， AD ＝ AP ， E 是 PD 的中点， M ， N 分别在 AB ， PC 上，且 MN ⊥ AB ， MN ⊥ PC . 证明： AE ∥ MN . 题后师说 证明线线平行的方法 巩固训 练 2 　 如图， EA 和 DC 都垂直于平面 ABC ，且 EA ＝ 2 DC ， F 是 EB 的中点，求证： DF ∥ 平面 ABC . 题型 3 　直线与平面所成的角 例 3 　如图，在四棱锥 P ­ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， △ PCD 为等边三角形，平面 PAC ⊥ 平面 PCD ， PA ⊥