1重难探究·能力素养全提升
01重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用三角恒等变换研究函数的性质【例1】已知,求函数的最小正周期、值域、单调递增区间. 解,,值域为.由，,得,，故其单调递增区间为,.
变式探究若将本例中函数改为,其中,其他条件不变,应如何解答？ 解,,值域为，.由,，得,,故其单调递增区间为,.
规律方法研究三角函数的性质之前,往往需要先对函数解析式进行化简,化简的步骤通常有两步:首先是降幂,即利用降幂公式,将解析式化为一次式,然后再利用辅助角公式转化为只含有一个三角函数的形式.
探究点二 利用三角恒等变换解决求值与化简问题【例2】（1）求值:. 解.
（2）化简:. 解.
规律方法 非特殊角的求值问题的解题策略 非特殊角的求值问题,关键是通过利用各种三角函数公式,将非特殊角转化为特殊角,或者通过运用公式,使正负项抵消或分子分母约分,或通过整体代入达到求值的目的.
变式训练1已知,则____. <m></m> [解析]由可得,于是.
探究点三 利用三角恒等变换解决实际问题【例3】如图,某公司有一块边长为1（单位：千米）的正方形空地,现要在正方形空地中规划一个三角形区域种植花草,其中,分别为边,上的动点,,其他区域安装健身器材,设.
（1）求面积关于的函数解析式; 解因为,正方形边长为1千米,所以,. 如图，过点作的垂线,垂足为,则，所以,其中.
（2）求面积的最小值. 因为,所以.因为,所以,所以,因此当时,即时,取得最小值为,故当时,面积的最小值为（平方千米）.
变式探究本例中,条件不变,试证明:的周长为2（单位：千米）. 解 设,因为,所以.因为,,所以,,在中,,
因此的周长.由于,所以,因此.故的周长为2千米.
规律方法 利用三角变换解决生活中的实际问题时,首先要认真分析,善于设参,找出关系,建立数学模型,将难以入手的实际问题化为较容易的数学问题,并且要注意参数的取值范围.
探究点四 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用【例4】已知函数. （1）求的最小正周期和最大值; 解,因此的最小正周期为,最大值为.
（2）讨论在区间上的单调性. 当时,,从而当,即时,单调递增;当,即时,单调递减.综上可知,在区间上单调递增;在区间上单调递减.
规律方法通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下:（1）利用三角恒等变换将函数的解析式化成的形式时出错;（2）将的最小正周期和最大值求错;（3）讨论的单调性时因忽视的取值范围致错.
变式训练2[2023浙江温州期末]已知函数. （1）若函数的最小正周期是,求的值； 解,因为函数的最小正周期是,,所以由,可得. （2）若函数在,上的值域为,,求的取值范围. 由（1）知,,当时,可得,结合题意得,可得,即的取值范围为.
2023-2024学年人教A版高中数学必修第一册 习题课三角恒等变换的应用 课件
