01要点深化·核心知识提炼
知识点1.抛物线的定义平面内到一个定点和一条定直线不在上的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的焦点，定直线叫作抛物线的准线.说明：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为.
知识点2.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程
图形标准方程焦点坐标准线方程 名师点睛（1）“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以 （2）抛物线的焦点所在轴轴、轴由标准方程中的一次项来确定，开口方向（向左、向右、向上、向下）由一次项系数的符号来确定，可简记为“焦点位置要看一次项，符号决定开口方向”. 续表
02题型分析·能力素养提升
【题型一】求抛物线的标准方程例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点为； 解因为焦点在轴的负半轴上,所以可设抛物线的标准方程为,其中,即,，所以抛物线的标准方程为. （2）准线为； 因为焦点在轴的正半轴上,所以可设抛物线的标准方程为,其中,所以,，所以抛物线的标准方程为.
（3）过点； 由题意,抛物线方程可设为或.因为抛物线过点，所以或,所以或，所以所求抛物线的标准方程为或. （4）焦点到准线的距离为. 由焦点到准线的距离为,可知,，所以所求抛物线的标准方程为或或或.
规律方法求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的值，从而求出方程.（1）定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数的值.①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线：根据题设中的条件设出其标准方程或或或，并进行求解.②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在轴上时，可将抛物线方程设为；当焦点在轴上时，可将抛物线方程设为.再根据条件求.
跟踪训练1 根据下列条件，求抛物线的标准方程：（1）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6； 解由焦点到准线的距离为6，得．又焦点在轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为．
（2）焦点在轴上，点在抛物线上，且. 因为抛物线的焦点在轴上，且点在抛物线上，①当时，抛物线的方程可设为，则解得或所以抛物线的标准方程为或．②当时，抛物线的方程可设为，则解得或所以抛物线的标准方程为或．综上，抛物线的标准方程为或或或．
【题型二】抛物线定义的理解及运用角度1 对抛物线定义的理解例2若动点满足，则点的轨迹是() DA.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线[解析]因为动点满足，即，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离.又点不在直线上，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线．故选D．
题后反思抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为；一个定点叫作抛物线的焦点；一条定直线叫作抛物线的准线；一个定值，即点到点的距离和它到直线的距离之比等于1. 跟踪训练2在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则点的轨迹方程为() DA.B.C.D.
角度2 抛物线定义的运用例3已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点. （1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；
解将代入，得.而，即点在抛物线内部.如图，过点作垂直于抛物线的准线于点.由抛物线的定义，知.当，，三点共线在线段上时，取得最小值，即的最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，即点的坐标为，所以的最小值为，点的坐标为．
（2）求点到点,的距离与到直线的距离之和的最小值. 显然点，在抛物线外部.设抛物线上点到准线的距离为,由抛物线的定义，得，当，，三点共线在线段上时取等号.又，，所以，所以所求最小值为2． 题后反思 抛物线定义的两种应用 （1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离.因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. （2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离之和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
跟踪训练3已知定长为3的线段的端点，在抛物线上移动，求的中点到轴距离的最小值. 解如图,设点是抛物线的焦点,过,两点分别作其准线的垂线,,过的中点作准线的垂线,,,为垂足,则.由抛物线的定义,知,,所以. 设点的横坐标为,,则.当线段过焦点时,等号成立,此时点到轴距离的最小值为.
【题型三】抛物线简单的实际应用例4如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为，镜深，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根钢筋的长度.
解如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于镜口圆的直径． 由已知，得点的坐标是.设抛物线的标准方程为，则，解得，所以所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是．因为盛水和食物的容器在焦点处，所以，两点间的距离即为每根
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 抛物线的标准方程 课件
