7.1
复数的概念
7.1.1
数系的扩充和复数的概念
新课程标准解读
核心素养
1.
通过方程的解，了解引进复数的必要性
数学抽象
2.
理解复数的基本概念及复数相等的充要条件
逻辑推理
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理
解：
因为类似
x
＋4＝3
的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似
x
＋4＝3
的方程在整数范围内有解；
因为类似
2
x
＝5
的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似
2
x
＝5
的方程在有理数范围内有解；
因为类似
x
2
＝7
的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似
x
2
＝7
的方程在实数范围内有解
.
问题
我们已经知道，类似
x
2
＝
－
1
的方程在实数范围内无解
.
那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
知识点一
复数的有关概念
1
.
复数
（
1
）定义：形如
a
＋
b
i
（
a
，
b
∈
R
）的数叫做复数，其中
i
叫做
虚数单位
，满足
i
2
＝
－
1
.
复数
a
＋
b
i
的实部是
a
，虚部是
b
；
（
2
）表示：复数通常用字母
z
表示，即
z
＝
a
＋
b
i
（
a
，
b
∈
R
）
.
2
.
复数集
（
1
）定义：
全体复数
构成的集合
C
＝
{
a
＋
b
i｜
a
，
b
∈
R
}
叫做复数集；
（
2
）表示：用符号
C
表示
.
1.
复数
m
＋
n
i
（
m
，
n
∈
R
）的实部是
m
，虚部是
n
i
，对吗？
提示：
不对
.
2.
复数
z
＝
a
＋
b
i
（
a
，
b
∈
R
）可以是实数吗？满足什么条件？
提示：
b
＝0
时，复数为实数
.
知识点二 复数的分类
1.
复数
z
＝
a
＋
b
i
（
a
，
b
∈
R
）可以分类如下：
复数
2.
集合表示：
知识点三 复数相等
设
a
，
b
，
c
，
d
都是实数，那么
a
＋
b
i＝
c
＋
d
i⇔
a
＝
c
且
b
＝
d
.
提醒
在两个复数相等的条件中，注意前提条件是
a
，
b
，
c
，
d
∈
R
，即当
a
，
b
，
c
，
d
∈
R
时，
a
＋
b
i＝
c
＋
d
i⇔
a
＝
c
且
b
＝
d
.
若忽略前提条件，则结论不能成立
.
1.
已知复数
z
满足
z
＝2
－
i
，则复数
z
的虚部是（
）
A.
－
2
B.
－
1
C.1
D.2
解析：
B
由题意，复数
z
满足
z
＝2
－
i
，根据复数的概念，可得复数
z
的虚部为
－
1.
故选
B.
2.
在
2＋
，
i
，
8＋5i
，（
1
－
）
i
，
0.618
这几个数中，纯虚数的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：
C
i
，（
1
－
）
i
是纯虚数，
2＋
，
0.618
是实数，
8＋5i
是虚数
.
故纯虚数的个数为
2.
3.
若（
x
－
2
y
）
i＝2
x
＋1＋3i
，则实数
x
－
y
＝
.
解析：
∵
（
x
－
2
y
）
i＝2
x
＋1＋3i
，
∴
解得
∴
x
－
y
＝
－
＋
＝
.
答案：
题型一
复数的概念
【例
1
】
（
1
）说出下列复数的实部和虚部：－
2＋
i
，
＋i
，
，－
i
，
i
，
0
；
（
2
）判断
N
*
，
N
，
Z
，
Q
，
R
，
C
的关系
.
解
（
1
）
－
2＋
i
，
＋i
，
，
－
i
，
i
，
0
的实部分别为
－
2
，
，
，
0
，
0
，
0
；虚部分别为
，
1
，
0
，
－
，
1
，
0.
（
2
）根据各数集的含义可知，
N
*
⫋
N
⫋
Z
⫋
Q
⫋
R
⫋
C
.
通性通法
复数概念的几个关注点
（
1
）复数的代数形式：若
z
＝
a
＋
b
i
，只有当
a
，
b
∈
R
时，
a
才是
z
的实部，
b
才是
z
的虚部，且注意虚部不是
b
i
，而是
b
；
（
2
）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（
3
）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的
.
1.
已知复数
z
＝
－
＋
i
（
i
为虚数单位），则
z
的虚部为（
）
A.
－
B.
i
C.
D.
解析：
C
z
＝
－
＋
i
的虚部为
，故选
C.
2.
设集合
A
＝
{
虚数
}
，
B
＝
{
纯虚数
}
，
C
＝
{
复数
}
，则
A
，
B
，
C
间的关系为（
）
A.
A
⫋
B
⫋
C
B.
B
⫋
A
⫋
C
C.
B
⫋
C
⫋
A
D.
A
⫋
C
⫋
B
解析：
B
根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数
.
因此只有
B
正确
.
故选
B.
题型二
复数的分类
【例
2
】
当
m
为何实数时，复数
z
＝
＋
（
m
2
－
2
m
－
15
）
i
是下列数？
（
1
）虚数；（
2
）纯虚数
.
解
（
1
）当
即
m
≠
5
且
m
≠
－
3
时，复数
z
是虚数
.
（
2
）当
即
m
＝3
或
－
2
时，复数
z
是纯虚数
.
1.
（
变设问
）
本例中条件不变，当
m
为何值时，复数
z
为实数？
解：
当
即
m
＝5
时，复数
z
是实数
.
2.
（
变设问
）
本例中条件不变，当
m
为何值时，
z
＞
0.
解：
因为
z
＞
0
，所以
z
为实数，需满足
解得
m
＝5.
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
（
1
）化标准式：解题时一定要先看复数是否为
a
＋
b
i
（
a
，
b
∈
R
）的形式，以
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.1.1 数系的扩充和复数的概念（学案）
