7.1.2 复数的几何意义
课程标准1.理解实轴、虚轴、模等概念．2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点要点一 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面❶叫做________，x轴叫做______，y轴叫做________．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示________数．要点二 复数的几何意义❷复平面实轴虚轴纯虚一一对应一一对应Z(a，b)
要点三 复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值❸，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．要点四 共轭复数1．一般地，当两个复数的实部________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数❹.2．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________．3．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝________． 相等互为相反数共轭虚数a－bi
助学批注批注❶ 复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．批注❷ 复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．批注❸ 表示复数的点Z到原点的距离. |z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离．批注❹ 两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．
夯 实 双 基 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)复数与向量一一对应．( )√×××
2．复平面内的点M(1，2)对应的复数为( )A．－1＋2i B．1＋2iC．2－i D．2＋i答案：B解析：点M(1，2)对应的复数为1＋2i.故选B.
3．已知i是虚数单位，则复数z＝3＋2i在复平面上对应的点的坐标为( )A．(2，3) B．(2，－3)C．(3，2) D．(－3，2)答案：C解析：由复数的几何意义可知复数z＝3＋2i在复平面上对应的点的坐标为(3，2)．故选C.
4．复数z满足z＝2－i(其中i为虚数单位)，则＝________． 解析：由已知可得＝＝.
题型探究·课堂解透
题型 1 复数与复平面内点的关系例1 [2022·山东青岛高一期末]已知复数z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i为虚数单位，m∈R.(1)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限，求m的取值范围；(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，求m的值．解析：(1)复数z的点位于第二象限则，解得3<m<5.(2)复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，则2(m2－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，解得m＝0或m＝9.
题后师说利用复数与点的对应解题的一般步骤
巩固训练1 (1)[2022·广东揭阳高一期末]若复数z＝－4＋i，则z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：B解析：因为复数z＝－4＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限．故选B.
(2)[2022·湖北宜昌高一期中]已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是( )A．(－2，－1)B．(－∞，－2)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－2) 答案：D解析：因为复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，所以，解得m<－2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故选D.
题型 2 复数与复平面内向量的对应关系例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．解析：由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)．设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．由题意知，＝，所以即故点D对应的复数为－3－2i.
题后师说复数与平面向量的对应关系的解题策略
巩固训练2 (1)[2022·福建福州高一期末]已知复平面内的点A，B分别对应的复数为z1＝2＋i和z2＝－1－2i，则向量对应的复数为( )A．1－iB．－1－iC．－3－3i D．3＋3i 答案：D解析：由题可得A(2，1)，B(－1，－2)，故＝(3，3)，则向量对应的复数为3＋3i.故选D.
(2)在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )A．2i B．－2iC．－3i D．3＋i 答案：B解析：复数对应的向量的坐标为(3，－)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.故选B.
题型 3 复数的模及其应用例3 已知复数z1＝＋i，z2＝－i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解析：(1)∵z1＝＋i，z2＝－i，∴|z1|＝＝2，|z2|＝＝1，∴>；(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，根据复数几何意义可知复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及内部所有点组成的集合，所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界)．
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.1.2 复数的几何意义 课件
