1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．(数学运算)2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(逻辑推理、数学运算)3．利用导数的运算法则解决有关问题．(数学抽象、数学运算)4．了解复合函数的概念．(数学抽象)5．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(逻辑推理、数学运算)6．能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题．(数学抽象、数学运算)
必备知识•探新知
导数的四则运算法则 知识点 1符号表达文字叙述[f(x)±g(x)]′＝___________________两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)[f(x)g(x)]′＝______________________两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
ACD
复合函数的导数 知识点 2y对uu对x
想一想：复合函数的求导问题，关键在于分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，选好中间变量．求解时要注意什么？提示：(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
练一练：引入中间变量，并指出下列函数是由怎样的函数复合而成的．(1)y＝(3x＋1)10；(2)y＝esin x；(3)y＝ln(2x－1)．
关键能力•攻重难
题型探究题型一利用导数的运算法则求函数的导数典例 1A
DC
[规律方法] 应用导数的四则运算法则的思路方法及注意事项(1)熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商的求导法则．(2)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．(3)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
对点训练❶D
(2)(2023·福建南安侨光中学高三月考)已知f(x)＝e2 023＋x·ln x，则f′(1)＝( )A．1 B．e2 023＋1C．e2 023－1 D．e2 023(3)求下列函数的导数：①y＝x3－x2－x＋3；②y＝x3ex.A
题型二复合函数的导数 求下列函数的导数：典例 2
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
求下列函数的导数：对点训练❷
题型三导数四则运算法则的应用 (1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )典例 3B
D
[规律方法] 导数公式和导数的运算法则是导数应用的基础．高考中经常涉及导数计算问题，一般以导数的运算法则、基本初等函数的导数公式表为工具，与其他知识联系在一起考查，既可以以选择题、填空题的形式单独考查导数的计算，也常以解答题的某一问的形式，结合其他知识进行考查．
对点训练❸D
题型四复合函数的导数的应用典例 4
(1)若可导函数f(x)满足 f ′(3)＝9，则f(3x2)在x＝1处的导数值为_______.(2)求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．对点训练❹[解析] (1)∵[f(3x2)]′＝f ′(3x2)(3x2)′＝6xf ′(3x2)，∴f(3x2)在x＝1处的导数值为6×1×f ′(3)＝54.54
易错警示对复合函数的求导不完全而致误在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数． 函数y＝xe1－2x的导数为y′＝_______________________.[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋ xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.典例 5(1－2x)e1－2x
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.
课堂检测•固双基
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数课件
