2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.5.3 平面与平面平行 学案

8 . 5.3 　平面与平面平行 课程标准 1. 理解并掌握平面与平面平行的判定定理与性质定理． 2 ．会证明平面与平面平行的判定定理与性质定理． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　平面和平面平行的判定定理 ❶ 文字语言 如果一个平面内的 ____________ 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ________ ， ________ ， ________ ， ________⇒ α ∥ β 图形语言 要点二　平面与平面平行的性质定理 ❷ 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 ________. 符号语言 α ∥ β ， α ＝ a ， β ＝ b ⇒________ 图形语言 助 学 批 注 批注 ❶ 　 (1) 如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，那么这 两个平面不一定平行． 即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，也不能推出这两个平面平行． (2) 在这个定理中，要紧紧抓住 “ 两条 ”“ 相交 ”“ 平行 ” 这六个字，否则条件不充分，结论不成立． (3) 判定定理说明，要证明面面平行，可证线面平行． 批注 ❷ 　这个定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，应用时需要作 ( 找 ) 出第三个平面与已知的两个平行平面的交线，从而说明两交线平行． 该定理可简单地概括为面面平行 ⇒ 线线平行． 夯 实 双 基 　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平 行． ( 　　 ) (2) 两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行． ( 　　 ) (3) 夹在两平行平面间的平行线段相等． ( 　　 ) (4) 若平面 α ∥ 平面 β ， l ⊂ 平面 β ， m ⊂ 平面 α ，则 l ∥ m .( 　　 ) 2 ．设 α ， β 为两个平面，则下列条件可以推出 α ∥ β 的是 ( 　　 ) A ． α ， β 平行于同一条直线 B ． α 内有无数条直线与 β 平行 C ． α 内有两条相交直线与 β 平行 D ． α 内有三个不共线的点到 β 的距离相等 3 ．已知平面 α 内的两条直线 a ， b ， a ∥ β ， b ∥ β ，若要得出平面 α ∥ 平面 β ， 则直线 a ， b 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．垂直 4 ．已知平面 α ∥ 平面 β ，直线 a ⊂ α ， 则直线 a 与平面 β 的位置关系为 ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　平面与平面平行的判定 例 1 　 [2022· 山东莒南高一期中 ] 如图，在长方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E ， F 分别为边 AA 1 ， DD 1 的中点． 证明：平面 CFA 1 ∥ 平面 BDE . 题后师说 平面与平面平行的判定方法 巩固训练 1 　 如图所示，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．点 M ， N ， Q 分别在 PA ， BD ， PD 上，且 PM ∶ MA ＝ BN ∶ ND ＝ PQ ∶ QD . 求证：平面 MNQ ∥ 平面 PBC . 题型 2 　面面平 行性质定理的应用 例 2 　如图，在三棱锥 P ­ ABC 中， D ， E ， F 分别是 PA ， PB ， PC 的中点， M 是 AB 上一点，连接 MC ， N 是 PM 与 DE 的交点，连接 NF ，求证： NF ∥ CM . 题后师说 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 巩固训练 2 　 如图，已知平面 α ∥ β ， P ∉ α 且 P ∉ β ， 过点 P 的直线 m 与 α ， β 分 别交于 A ， C ，过点 P 的直线 n 与 α ， β 分别交于 B ， D ，且 PA ＝ 6 ， AC ＝ 9 ， PD ＝ 8 ，求 BD 的长． 题型 3 　平行关系的综合应用 例 3 　 [2022· 辽宁抚顺高一期末 ] 在正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N ， P 分别是 AD 1 ， BD 和 B 1 C 的中点． 求证： (1) NP ∥ 平面 CC 1 D 1 D . (2) 平面 MNP ∥ 平面 CC 1 D 1 D . 题后师说 解决平行关系的综合问题的策略 要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． 巩固训练 3 　 如图，在四棱锥 P ­ ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形， M ， N 分别为 BC ， PD 的中点． (1) 证明： MN ∥ 平面 PAB ； (2) 若 K 为 AD 的中点， 证明：平面 MNK ∥ 平面 PAB . 8 ． 5.3 　平面与平面平行 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点一 两条相交直线　 a ⊂ β 　 b ⊂ β 　 a ∩ b ＝ P 　 a ∥ α ， b ∥ α 要点二 　平行　 a ∥ b [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)√ 　 (2)× 　 (3)√ 　 (4)× 2 ． 解析： 利用正方体模型 ( 其中用一个平行上下底面的截面平分正方体体积 ) 构建反例，如图，直线 u 和正方体的左侧面和下底面平行，显然左侧面和下底面不平行 ( 这里直线 u 是上底面和右侧面的交线 ) ，故 A 不对；不难找到无数条左侧面里的直线，让其平行下底面，故 B 不对；很容易在左侧面上棱找到两个点，下棱找到一个点，取平行于上、下底面，且到上、下底面距离相等的平面为截面，这三个点到截面的距离相等，但截面和左侧面不平行，故 D 不对； C 选项根据面面平 行判定定理可知其正确． 故选 C. 答案： C 3 ． 解析： 根据面面平行