新课程标准解读核心素养能求简单的复合函数的导数数学运算
目录CONTENTS01读教材·知识梳理03拓视野·思维进阶02研题型·典例精析扣课标·素养提升04
1．已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln (2x＋5)，y＝sin (x＋2).这三个函数都是复合函数吗？提示：函数y＝ln (2x＋5)，y＝sin (x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．2．试说明函数y＝ln (2x＋5)是如何复合的？提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln (2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．3．求复合函数的导数与顺序有关吗？提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导．
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2．求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．
|通性通法|1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
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|通性通法|本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
推广2：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．证明：必要性：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)，于是f′(x)＝[f(2a－x)]′，故f′(x)＝－f′(2a－x)，即f′(x)＋f(2a－x)＝0.因此导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．充分性：导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则f′(x)＋f′(2a－x)＝0.即[f(x)－f(2a－x)]′＝0，因此f(x)－f(2a－x)＝C(C为常数).令x＝a，得C＝0.所以f(x)＝f(2a－x).故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
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3．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ ( )A．0 B．1C．2 D．3D
4．已知f(x)＝ln (3x－1), 则f′(1)＝________．5．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．解析：由题意知y′＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2.
2．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝ ( )A．0 B．60C．－1 D．－60解析：f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)，所以f′(1)＝10×(1－2)9×(－6)＝60.B
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7．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________．解析：令u＝2x＋a，则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.1
9．已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a＞0)，且f′(2)＝5，则实数a的值为________．解析：∵f′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，∴f′(2)＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a＞0)，解得a＝1.1
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12．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是___________．解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.因为f(x)为偶函数，所以当x＞0时，f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
13．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程；解：∵y＝e－x，∴yx′＝(e－x)′＝－e－x，当x＝t时，yx′＝－e－t.故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，即x＋ety－(t＋1)＝0.(2)求S(t)的解析式．解：令y＝0，得x＝t＋1.令x＝0，得y＝e－t(t＋1).
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2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.1.4 第二课时 简单复合函数的求导法则 课件
