3.3
幂函数
学习目标
1
.
了解幂函数的概念
,
会求幂函数的解析式
.
2
.
结合幂函数
y
=
x
,
y
=
x
2
,
y
=
x
3
,
y
=
,
y
=
的图象
,
掌握它们的性质
.
3
.
能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
.
教材知识梳理
一
幂函数的概念
1
.
一般地
,
函数
y
=
x
α
叫做幂函数
,
其中
x
是自变量
,
α
是常数
.
2
.
幂函数解析式的结构特征
(1)
指数为常数
;
(2)
底数是自变量
,
自变量的系数为
1;
(3)
幂
x
α
的系数为
1;
(4)
只有
1
项
.
二
幂函数的图象
幂函数在第一象限内指数变化规律
:
在第一象限内直线
x
=1
的右侧
,
图象从上到下
,
相应的指数由大变小
.
三
五个重要的幂函数
幂函
数
y
=
x
y
=
x
2
y
=
x
3
y
=
y
=
x
-1
定义
域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)
∪
(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{
y
|
y
∈
R,
且
y
≠0}
奇偶
性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调
性
增
x
∈
[0,+∞),
增
;
x
∈
(-∞,0],
减
增
增
x
∈
(0,+∞),
减
;
x
∈
(-∞,
0),
减
幂函
数
y
=
x
y
=
x
2
y
=
x
3
y
=
y
=
x
-1
公共
点
都经过点
(1,1)
四
一般幂函数的性质
(1)
幂函数在第一象限内都有图象
,
且都过点
(1,1);
(2)
若
α
>0,
则幂函数的图象过
(0,0),(1,1),
且在
[0,+∞)
上递增
.
①
当
α
>1
时
,
图象在第一象限内下凸
(
递增速度越来越快
);
②
当
0<
α
<1
时
,
图象在第一象限内上凸
(
递增速度越来越慢
)
.
(3)
若
α
<0,
则幂函数的图象过
(1,1),
且在
(0,+∞)
上递减
,
以
x
轴、
y
轴为渐近线
.
【质疑辨析】
(
正确的打
“√”,
错误的打
“×”)
(1)
函数
y
=
x
0
(
x
≠0)
是幂函数
.
(
√
)
(2)
幂函数的图象必过点
(0,0)
和
(1,1)
.
(
×
)
(3)
幂函数的图象都不过第四象限
.
(
√
)
(4)
当
α
>0
时
,
y
=
x
α
是增函数
.
(
×
)
教材典题变式
【例
1
】
(1)
在函数
①
y
=
,
②
y
=
x
2
,
③
y
=2
x
,
④
y
=1,
⑤
y
=2
x
2
,
⑥
y
=
中
,
是幂函数的是
(
)
A.
①②④⑤
B.
③④⑥
C.
①②⑥
D
.
①②④⑤⑥
(2)
函数
f
(
x
)=(
m
2
-
m
-1)
是幂函数
,
且当
x
∈
(0,+∞)
时
,
f
(
x
)
是增函数
,
求
f
(
x
)
的解析式
.
【答案】
(1)C
【详解】
(1)
幂函数是形如
y
=
x
α
(
α
为常数
)
的函数
,
①
是
α
=-1
的情形
,
②
是
α
=2
的情形
,
⑥
是
α
=-
的情形
,
所以
①②⑥
都是幂函数
;
③
自变量
x
在指数上
,
不是幂函数
;
⑤
中
x
2
的系数是
2,
所以不是幂函数
;
④
是常函数
,
不是幂函数
.
所以只有
①②⑥
是幂函数
.
(2)
由
m
2
-
m
-1=1
得
,
m
2
-
m
-2=0,
解得
m
=2
或
m
=-1
.
当
m
=2
时
,
m
2
+
m
-3=3,
f
(
x
)=
x
3
符合题意
,
当
m
=-1
时
,
m
2
+
m
-3=-3<0,
f
(
x
)=
x
-3
在
(0,+∞)
上为减函数
,
不符合题意
.
综上
,
f
(
x
)=
x
3
.
【归纳总结】
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
y
=
x
α
(
α
为常数
)
的形式
,
即函数的解析式为一个幂的形式
,
且需满足
:(1)
指数为常数
;(2)
底数为自变量
;(3)
系数为
1
.
【例
2
】
(
源于
P91
例题
)
证明
:
幂函数
f
(
x
)=
x
3
是增函数
.
【证明】函数的定义域为
R,
∀
x
1
,
x
2
∈
R,
且
x
1
<
x
2
,
有
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)=
-
=(
x
1
-
x
2
)(
+
x
1
x
2
+
),
因为
x
1
<
x
2
,
所以
x
1
-
x
2
<0,
又因为
+
x
1
x
2
+
=
x
1
+
2
+
>0,
所以
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)<0,
即
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
),
故幂函数
f
(
x
)=
x
3
是增函数
.
教材拓展延伸
【例
3
】研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性
,
并作出其大致图象
.
(1)
y
=
x
-2
;
(2)
y
=
;
(3)
y
=
;
(4)
y
=
.
【详解】
(1)
y
=
x
-2
,
设
f
(
x
)=
x
-2
=
,
f
(
x
)
的定义域为
(-∞,0)
∪
(0,+∞),
因为
>0,
所以值域为
(0,+∞)
.
显然
f
(
x
)=
f
(-
x
),
f
(
x
)
为偶函数
,
在
f
(
x
)=
x
-2
中
,-2<0,
f
(
x
)
为偶函数
,
所以
f
(
x
)
在
(-∞,0)
上单调递增
,
在
(0,+∞)
上单调递减
.
图象如图
(1)
.
(2)
y
=
,
设
g
(
x
)=
=
,
定义域为
(-∞,0)
∪
(0,+∞),
由
≠0,
所以值域为
(-∞,0)
∪
(0,+∞),
由
g
(
x
)=-
g
(-
x
),
所以
g
(
x
)
为奇函数
,
在
g
(
x
)=
中
,-
<0,
g
(
x
)
为奇函数
,
所以
g
(
x
)
在
(-∞,0)
上单调递减
,
在
(0,+∞)
上单调递减
.
图象如图
(2)
.
(3)
y
=
,
设
h
(
x
)=
=
,
所以定义域为
R;
值域为
R;
由
h
(
x
)=-
h
(-
x
),
所以
h
(
x
)
为奇函数
,
在
h
(
x
)=
中
,
>0,
所以
h
(
x
)
在
(-∞,+∞)
上单调递增
.
图象如图
(3)
.
(4)
y
=
,
设
φ
(
x
)=
=
,
由
x
3
≥0
得定义域为
[0,+∞),
值域为
[0,+∞),
因为定义域为
[0,+∞),
所以
φ
(
x
)
为非奇非偶函数
;
在
φ
(
x
)=
中
,
>0,
定义域为
[0,+∞),
所以
φ
(
x
)
在
[0,+∞)
上单调递增
.
图象如图
(4)
.
【例
4
】如图所示
,
图中的曲线是幂函数
y
=
x
n
在第一象限的图象
,
已知
n
取
±2,±
四个值
,
则相应
C
1
,
C
2
,
C
3
,
C
4
的
n
依次为
(
)
A
.
-2,-
,
,2
B
.
2,
,-
,-2
C
.
-
,-2,2,
D
.
2,
,-2,-
【答案】
B
【详解】根据幂函数
y
2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第三章 3.3 幂函数 学案
