知识梳理一、函数最值的定义1.函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示).
由上图可以看出,最大值或者在极大值点(也是导数的零点)取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点和最小值也是用类似的方法定义.2.函数的最大值和最小值统称为最值.
名师点析1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
微思考1你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗?提示 函数y=f(x)在区间[a,b]内的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都大于或等于f(x0),函数的最小值可以在区间的内部取得,也可以在区间的端点处取得,要想求函数的最小值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最小的值即为函数的最小值.
微思考2在开区间或无穷区间上,最值与极值的联系有哪些? 提示 当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
微判断(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.( )(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( )(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.( )(4)函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.( )√ × × √
二、求函数的最大值与最小值的方法步骤函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
名师点析如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
微练习函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值的和是 . 答案 -10
课堂篇 探究学习
探究一求函数的最值角度1 求函数在闭区间上的最值例1求下列函数在相应区间上的最值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x) +0- f(x)-14↗极大值-10↘-12所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
反思感悟求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法1.求函数f(x)的导函数f'(x);2.解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;3.计算函数f(x)在区间[a,b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;4.比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
答案 C
角度2 求函数在开区间或无穷区间上的最值例2求下列函数的最值:
得极大值,又因为当x=1时y=0,当x<1时y<0,当x>1时y>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1,所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在(-3,1)内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值等于f(-3)=6e-3;在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.所以函数的大致图象如图所示.从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数无最大值.
反思感悟求函数在开区间或无穷区间上最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
答案 A
探究二含有参数的函数最值问题例3已知函数f(x)=ax3- x2+b(x∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;(2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.解 (1)f'(x)=3ax2-3x,由f'(2)=6,得a=1.由切线方程为y=6x-8,得f(2)=4.又f(2)=8a-6+b=b+2=4,∴b=2,∴a=1,b=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x(-1,0)0(0,1)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
反思感悟对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于等于0或小于等于
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的最值(课件)
