第一章 数 列
§2 等差数列2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时 等差数列
1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的判定方法．3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．
等差数列的定义 知识点 1文字语言对于一个数列，如果从第_____项起，每一项与它的前一项的_____都是_____________，称这样的数列为等差数列符号语言若_______________________，则数列{an}为等差数列[提醒] “每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．2差同一个常数an－an－1＝d(n≥2)
想一想：若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？提示：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．
练一练：(多选)下列数列是等差数列的是( )A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析] 根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．AC
等差数列的通项公式 知识点 2若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_________ _______.a1＋(n－1)d
练一练：1．已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d等于( )C．3 D．－3B
2．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2 023，则序号n＝( )A．503 B．504 C．505 D．506[解析] 由an＝a1＋(n－1)d得2 023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.D
题|型|探|究 (1)已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求数列{an}的通项公式．(2)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an.题型一等差数列的通项公式典例 1
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.
[规律方法] 基本量法求通项公式(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．(2)等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．(3)如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )A．8 B．12C．16 D．24对点训练❶C
(2)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．[解析] (1)设公差为d，首项为a1，∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.
(1)判断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．题型二等差数列的判断与证明典例 2
[解析] (1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法] 1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数). 2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．
对点训练❷
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？[解析] 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．题型三等差数列的实际应用典例 3
[规律方法] 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为_______. [解析] 设经过n次考试后该学生的成绩为an，对点训练❸11
易|错|警|示求等差数列的公差时因考虑不周致误 首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )典例 4D
[误区警示] 该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列 课件
