2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案

第六章　计数原理 课程目标 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理．通过本章的学习，要能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用，并能够运用这些原理来解决简单的实际问题． 通过本章的学习，会运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题． 6.1 　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 1 ．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理． 2 ．能说出分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 3 ．能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 . 重点： 归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题． 难点： 正确理解 “ 完成一件事 ” 的含义，根据问题的特征，正确区分 “ 分类 ” 和 “ 分步 ”． 核心素养： 数学抽象、数学建模、数学运算 . 必备知识 · 探新知 　 知识点 1 　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 _ N ＝ m ＋ n __ 种不同方法． 推广到一般情形：完成一件的事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m 2 种不同的方法， … ，在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n 种不同的方法． 思考 1 ： (1) 定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？ (2) 各种方案之间有何关系？每一类方案中各种方法之间有何关系？ 提示： (1) 能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事． (2) 各种方案之间相互独立，并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立． 　 知识点 2 　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ _ m × n __ 种不同的方法． 推广到一般情形：完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， … ，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m 1 · m 2 · … · m n 种不同的方法． 思考 2 ： (1) 定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？ (2) 根据定义完成一件事的方法数怎样计算？ 提示： (1) 不能，每一步中的每一种方法都不能独立完成这件事． (2) 从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数． 　 知识点 3 　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 都是用来计算完成一件事的方法种数 区别一 针对的是 “ 分类完成问题 ” 针对的是 “ 分步完成问题 ” 区别二 各种方法相互独立 各个步骤中的方法相互连续 区别三 任何一种方法都可以做完这件事 只有各个步骤都完成才算做完这件事 解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，首先弄清楚是 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” ，其次搞清楚 “ 分类 ” 或 “ 分步 ” 的标准，做到合理分类，准确分步． 思考 3 ： 分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？ 提示： 分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情． 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一　分类加法计数原理 典例 1 　在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少个？ [ 分析 ] 　 根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． [ 解析 ] 　 方法一：分析个位数分类如下． 个位是 9 ，则十位可以是 1 ， 2 ， 3 ， … ， 8 中的一个，故有 8 个满足条件的两位数； 个位是 8 ，则十位可以是 1 ， 2 ， 3 ， … ， 7 中的一个，故有 7 个满足条件的两位数； 同理，个位是 7 的有 6 个满足条件的两位数，个位是 6 的有 5 个满足条件的两位数， … ，个位是 2 的只有 1 个满足条件的两位数． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＋ 8 ＝ 36( 个 ) ． 方法二：按十位上的数字分别是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有 8 个、 7 个、 6 个、 5 个、 4 个、 3 个、 2 个、 1 个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有 8 ＋ 7 ＋ 6 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 36( 个 ) ． 方法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出． 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16 ， 17 ， 18 ， 19 ， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 27 ， 28 ， 29 ， 34 ， 35 ， 36 ， 37 ， 38 ， 39 ， 45 ， 46 ， 47 ， 48 ， 49 ， 56 ， 57 ， 58 ， 59 ， 67 ， 68 ， 69 ， 78 ， 79 ， 89. 共有 36 个满足条件的两位数． [ 规律方法 ] 　 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三