2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 第七章复数 单元测试

第七章　单元素养水平监测 ( 时间： 120 分钟　满分： 150 分 ) 一、单项选择题 ( 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ) 1 ．已知 i 是复数单位，求 i 2023 ＝ ( 　　 ) A ． 1 　　　　 B ．－ i 　　　　 C ．－ 1 　　　　 D ． i 2 ．在复平面内，复数 z 对应的点在第四象限，对应向量的模为 3 ，且实部为 ，则复数 z ＝ ( 　　 ) A ． 3 － i B ． － 3i C ． ＋ 2i D ． － 2i 3 ．若 a 为实数，且 ＝ 3 ＋ i ，则 a ＝ ( 　　 ) A ．－ 4 B ．－ 3 C ． 3 D ． 4 4 ．复数 z ＝ 在复平面内对应的点位于 ( 　　 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5 ．复数 z ＝ 在复平面内对应向量 的坐标为 ( 　　 ) A ． (2 ， 1) B ． (2 ，－ 1) C ． (1 ， 2) D ． (1 ，－ 2) 6 ．已知复数 z 在复平面内对应的点为 (1 ， 2) ， 是 z 的共轭复数，则 ＝ ( 　　 ) A ．－ ＋ i B ．－ － i C ． ＋ i D ． － i 7 ．已知复数 z ＝ ，则 | z 2 ＋ 1| ＝ ( 　　 ) A ． 2 B ． C ． D ． 8 ．设复数 z 满足 z ＋ | | ＝ 2 ＋ i ，那么 z ＝ ( 　　 ) A ．－ ＋ i B ． ＋ i C ．－ － i D ． － i 二、多项选择题 ( 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． ) 9 ．下面关于复数 z ＝ ，正确的是 ( 　　 ) A ． | z | 2 ＝ 2 B ． z 2 ＝－ 2i C ． z 的虚部为－ i D ． z 的 共轭复数为 1 ＋ i 10 ．已知 i 为虚数单位，复数 z 1 ＝ a － 2i ， z 2 ＝ 2 ＋ a i ， ( a ∈ R ) ，下列结论正确的有 ( 　　 ) A ． | z 1 | ＝ | z 2 | B ． 1 ＝ z 2 C ．若 2( z 1 ＋ z 2 ) ＝ z 1 · z 2 ，则 a ＝ 2 D ．若 z 2 ＝－ i ，则 a ＝ 0 11 ．设 z ＝ (2 t 2 ＋ 5 t － 3) ＋ ( t 2 ＋ 2 t ＋ 2)i ， t ∈ R ，则以下结论错误的是 ( 　　 ) A ． z 对应的点在第一象限 B ． z 一定不为纯虚数 C ． 对应的点在实轴的下方 D ． z 一定为实数 12 ．欧拉公式 e x i ＝ cos x ＋ isin x ( 其中 i 为虚数单位， x ∈ R ) 是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占 有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是 ( 　　 ) A ．复数 e 2i 对应的点位于第三象限 B ． e i 为纯虚数 C ．复数 的模等于 D ． e i 的共轭复数为 － i 三、填空题 ( 本题共 4 小题 ，每小题 5 分，共 20 分． ) 13 ．已知 i 为虚数单位，则复数 i(2 － 3i) 对应的点的坐标为 ________ ． 14 ．在复平面内，复数 3 ＋ 4i 与 5 ＋ 6i 所对应的向量分别为 和 ，其中 O 为坐标原点，则 对应的复数为 ________ ． 15 ．已知复数 z ＝ m ＋ (2 m － 1)i 的模是 且其虚部大于 0 ，则实数 m ＝ ________ ． 16 ．在代数发展史上，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题．数学有如下代数基本定理：任何一元 n ( n ∈ N * ) 次复系数方程 f ( x ) ＝ 0 至少有一个复数根．进而可得到：一元 n 项式方程有 n 个复数根 ( 重根按重数计 ). 早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程 .16 世纪上半叶，数学家得到了一元三次方程、一元四次方程的解法，实系数一元二次方程 a 2 x 2 ＋ a 1 x ＋ a 0 ＝ 0 在复数集 C 内的根 x 1 ， x 2 满足 x 1 ＋ x 2 ＝－ ， x 1 x 2 ＝ ，实系数一元三次方程 a 3 x 3 ＋ a 2 x 2 ＋ a 1 x ＋ a 0 ＝ 0 在复数集 C 内的根 x 1 ， x 2 ， x 3 满足 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝－ ， x 1 x 2 ＋ x 1 x 3 ＋ x 2 x 3 ＝ ， x 1 x 2 x 3 ＝－ ，则方程 x 3 － x ＋ 6 ＝ 0 的实数根为 ________ ，虚数根为 ________ ． 四、解答题 ( 本题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ) 17 ． ( 本小题 10 分 ) 计算下列各式的值： (1) 已知 a ∈ R ， i 是虚数单位，若 z ＝ ＋ a i ， | | ＝ 2 ，求 a 的值； (2) 设 6 ＋ x ＋ (3 － 2 x )i ＝ 3 ＋ ( y ＋ 5)i(i 是虚数单位 ) ，其中 x ， y 是实数，求 | x ＋ y i|. 18 ． ( 本小题 12 分 ) 已知复数 z ＝ ( m 2 － 7 m ＋ 10) ＋ ( m 2 － 5 m ＋ 6)i ， i 为虚数单位， m ∈ R . (1) 若 z 为纯虚数，求 m 的值； (2) 若在复平面上表示复数 z 的点位于直线 2 x － y － 14 ＝ 0 上，求 m 的值． 19 ． ( 本小题 12 分 ) 已知 z 1 ＝ 1 ＋ 2i ， z 2 ＝ 3 － 4i ， i 是虚数单位． (1) 求 z 1 · 2 ； (2) 设复数 z 1 、 z 2 、 z 3 在复平面内所对应的点分别为 Z 1 、 Z 2 、 Z 3 ， O 为坐标原点，若 O 、 Z 1 、 Z 2 、 Z 3 所构成的四边形为平行四边形，求复数 z 3 . 20 ． ( 本小题 12 分 ) 设复数 z 1 ＝ 1 － a i( a ∈ R ) ， z